泰勒公式在一类高考试题中的应用方法探究

时间：2023-03-01 15:30:06　来源：柠檬阅读网本文已影响人

黄淑珍

人民教育出版社高中数学必修第一册三角函数课后作业拓广探索部分题26给出了泰勒公式，提到“这些公式还被编入计算工具，当计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性。比如，计算前三项，可以得到cos0.3≈0.9553375”。泰勒公式用函数逼近的思路求解近似值。

泰勒公式在高等数学中是一个非常重要的定理，计算函数数列极限、中值问题、不等式证明、近似计算和函数的无穷级数展开，都需要使用泰勒公式，所以在高中数学学习中拓广探索泰勒公式，让学生初步理解并掌握其应用能更好地进行高中与大学知识衔接。泰勒公式的逼近思想在计算机、建筑设计、保险精算、风险评估等领域也有重要作用，了解和探索泰勒公式，能让学生更好地理解和应用数学来解决实际问题，感受数学学科的魅力。

泰勒公式，也叫泰勒展开式，是一个用函数在某个点的信息来描述它附近取值的公式，如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某个点的各阶导数值当作系数来构建一个多项式用于近似表达这个函数，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。高中数学中更多的是使用泰勒公式在x0=0时的特殊形式。

2022年高考结束，舆论都在讨论“史上最难”的数学试题，其中选择第7题考倒了不少学生，下面提供2022年高考题的两种解法对比：

( )

A.aC.c

小结：此解法中，a，c大小比较是关键，需要二次求导，在考场紧张的时间中学生难以精心计算。

小结：运用泰勒展开式，近似取值到小数点后三位即可比较大小，相对解法一运算量小。

无独有偶，在2023届广州市高三年级阶段训练中也有这样一道题，在这提供三种解法对比。

( )

A.a

C.a

小结：上述解法需要熟悉构造函数证明常见不等式，在考场短时间内完成，计算量还是挺大的。

小结：上述解法是利用泰勒公式计算近似值，过程简单明了。需要对新教材内容中高等数学背景的知识点进行适当拓展。

小结：客观题解答中，通过构造函数连续求导，判断单调性，可以基本判断大小，只是要考虑x=0.1是否足够小，在所需单调区间内还得具体判断，对客观题来说，结合具体选项，选出正确答案也不失为省时高效的好解法。

泰勒公式的应用挺广泛，并不是首次出现在高考题和各地模拟试题中，在新教材作业题出现后，我们回顾往年高考题会发现泰勒公式的应用还是多次出现的。

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A.aC.b

小结：a，b大小容易比较，排除A，D选项后，可用泰勒公式计算a，c大小即可。

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A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

泰勒公式用函数逼近的思想来求近似值，我们联想起二项式定理也可以求解近似值题目，而(1+x)α的泰勒公式中取了特殊值，余项是0就是二项式定理的形式，可见泰勒公式比二项式定理更具有一般性。当遇到指数对数不容易取值时，以上方法能够转变成无穷级数，代入具体数值即可比较大小，对比构造函数证明，泰勒公式更容易被学生接受。泰勒公式在考试题命制中作用是架起了超越函数与初等函数之间的桥梁，让高等数学问题找到了初等解法，也让高中数学与高等数学之间有了更多的衔接。

利用泰勒公式，我们截取前几项，就可以得到导数应用中常见的不等式。如：

(10)α≤0或α≥1，(1+x)α≥1+αx(x>-1)；
0<α<1，(1+x)α≤1+αx(x>-1)；

【例5】(2013年陕西高考数学试题，22)已知函数f(x)=ex，x∈R。

【例6】(2014年陕西高考数学试题，21)设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数。(3)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明。

可见泰勒公式能将复杂函数近似表示为简单的多项式，在分析和研究数学问题时起到化繁为简的作用。泰勒公式和常见不等式是需要记忆的，我们在高考复习过程中，归纳好题型，遇到能使用泰勒公式的题目时多巩固加强记忆，熟练后就可以得心应手了。

2021年和2022年的高考题中，不少题源自新旧教材变化内容及新教材拓广探索题目，如2022年高考试题中第7题出现泰勒公式的应用，第20题概率统计解答题可运用贝叶斯公式。新高考注重在学科知识网络的交汇点和跨学科知识的综合点设计试题，注重创新试题设计，紧密联系社会生产实践、生活实际与科学研究的应用型试题增加，将学科的基本思想与方法、原理融合于试题之中，注重考查学生利用所学知识分析和解决实际问题。在新课程新教材“双新”背景下，新高考备考更需要研究新教材内容如章节编排、栏目设置、课后习题、概念阐述等，研究新旧教材差异，从新旧教材变化中设置情景命题，提高高考备考效果。

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