虹与霓现象的MATLAB仿真研究

时间：2023-03-01 08:35:05　来源：柠檬阅读网本文已影响人

郭志兴张俊闫苗苗黄海强刘成毅朱丽娟

(湖北文理学院物理与电子工程学院湖北襄阳 441053)

霓虹亦称彩虹，是雨后天晴天空中常见的光学现象.早在3 000多年前的殷商时期，我国甲骨文中就已出现了虹的象形文字.东汉蔡邕的《月令章句》记载了当时对虹形成的外观条件、虹的方位的认识[1].约公元200年雅典哲学家亚历山大发现主彩虹和次级彩虹之间较暗区域亚历山大暗带[2].笛卡尔在1637年指出，彩虹是当太阳光被空气中的水滴经折射—反射—折射形成的[3].1811 年毕奥首次观测到彩虹射线的内入射角非常接近布儒斯特角[4].

20世纪开始霓虹的原理研究从光的折射、反射理论到洛伦兹-米氏散射、德拜散射理论、对水珠形状影响分析等逐渐深入.文献[5]从霓虹现象的认识历史、简单物理本质、几何原理的推论以及偏振状态解释了霓虹产生的成因.文献[6]介绍了彩虹产生的物理机理.文献[7]的作者设计演示了360°的霓虹，并提出在小球背面的反射点处镀膜以增强霓虹的亮度.文献[8]推导出了最小偏向角处的入射角.文献[9]求出了水对红、紫光的折射率.文献[10]给出了不同波长光在水中的霓虹视角.文献[11]简述了根据彩虹的特点判断天气变化.文献[12]用几何画板软件再现霓虹的成因.基于前人的研究成果，我们对太阳光经过小水珠前后的过程进行深入研究.发现了在实物实验中方便测量最小偏向角的方法.

天空中的小水滴可近似视为小球体.当太阳光以一定的角度照射时，在最小偏向角附近太阳光将以几乎相同的角度经历多次折射和反射，所以经水滴出射的光会集中在最小偏向角附近.当我们从正面观察从小水滴中射出的光时，可以看到更清晰的彩虹[10].

同时还会受到光照强度、水汽特征等天气条件.由于水对不同波长光的折射率不同，导致不同颜色光的偏折程度不同，所以我们看到的彩虹是五颜六色的.相对于观察者，偏向角相同的小水滴一定分布在圆弧上，这就是我们看到的彩虹呈圆弧型的原因.太阳的位置越低，看到的圆弧越完整.所以在夕阳下，我们可以看到近半圆的弧形彩虹；
乘坐飞机时，可能看到完整的彩虹[2].

3.1 虹

虹的光路如图1.设入射光AB进入小球的入射角i1=∠ABC，折射角i2=∠OBG，自B点射入，经两次折射一次反射从E点射出，则入射光AB与出射光ED夹角即偏向角为

图1 虹的光路图

Ds=4i2-2i1

(1)

(2)

(3)

设入射光与水平线夹角θ，球半径r，以球心为原点，建立笛卡尔平面坐标系,出射光ED的斜率

kED=tan(θ+Ds)

(4)

辅助线OF的斜率

kOF=tan(arctankED-i1)

(5)

出射光ED与小球交点E坐标(xE,yE)

yE=kOFxE

(6)

因此,光线离开小球时的位置E(xE,yE)和方向kOF就确定了.

3.2 霓

霓的光路如图2.入射光AB从B点射入，经两次折射两次反射后从E点射出，偏向角为

(7)

图2 霓的光路图

kOF=tan(arctankED+i1)

(8)

xE、yE、xQ的计算方法和虹类似，这里不再重复.

3.3 实物实验的过程

用PMMA材料、半径2 cm的小球模拟水滴，吊装在暗箱内.接收屏设置在暗箱斜上方，成45°角倾斜放置，可同时显示虹和霓.用全光谱LED模拟太阳光，光源固定在可旋转角度且有角度刻盘的调整架上，可精确控制光源的入射角度.实验装置内部结构图如图3所示

图3 实验装置内部结构3D图

3.4 角度分析

实物实验中，霓虹的位置与最小偏向角之间的关系不易测得.我们利用MATLAB推导出两者之间的关系.出射光ED的反向延长线与x轴交点Q的坐标(xQ，0)

(9)

所以，从球心向右移动xQ个距离，再旋转arctankED度，与观察屏的交点D即是霓虹的位置，计算的最小偏向角Ds即θDPA=θ-arctankED.

另一种求最小偏向角的方法：霓虹在观察屏上的位置D与球心O所在直线DH与入射光AB的夹角θDHA容易测得，而它与偏向角θDPA的差值θPDH容易求得

θPDH=arctankED-arctankDH

(10)

4.1 波长到颜色的模型

张卉基于1931CIE标准色度系统和BP神经网络[14]，训练出RGB到波长的BP网络模型.表1给出了部分波长光对应的RGB值.

表1 R,G,B三色值与窄带光中心波长的实验数据

4.2 波长到折射率的模型

根据ZEMAX软件玻璃目录中PMMA所使用的the schott formula公式，PMMA小球的折射率n与波长λ的关系为

n(λ)2=2.186 4-0.000 244 75λ2+
0.014 155λ-2

(11)

此处波长λ的单位为μm.可见光在PMMA材质中的折射率在1.49～1.51之间.将式(11)代入式(2)和式(7)，可分别求出不同颜色光的霓虹视角，如表2所示.

表2 不同波长光在PMMA材质中的霓虹视角

对于虹，红光的视角大于紫光视角，所以虹的红光在上，紫光在下，最小偏向角约为23.80°.对于霓，红光的视角小于紫光视角，因此霓内红外紫，最小偏向角约为84.99°.偏向角与入射角的关系如图4和图5所示.

图4 虹的偏向角与入射角关系

图5 霓的偏向角与入射角关系

根据水对不同波长的可见光的折射率和柯西色散经验公式，水的折射率与波长的关系可以表示为[13]

n(λ)=1.324+3 076.25λ-2

此处波长λ的单位为nm.

4.3 仿真程序

将小球半径r、入射光的角度θ，波长λ均以具体数值表示，根据折射、反射定律等光学原理绘制仿真图.程序的主要流程如图6所示.

图6 程序流程图

radius=2;%小球半径

k_light=tand(5); %入射光斜率

wave=linspace(0.4,0.7,100);%波长范围

n1=1.0003;%空气折射率

n2s=sqrt(2.1864-2.4475e-4.*wave.^2+0.014155./wave.^2); %折射率与波长

theta_i_n=acos(sqrt(((n2/n1)^2-1)/8));%求入射角

theta_reflect_n=asin(n1*sin(theta_i_n)/

n2);%求反射角

为替代GUI、顺应Web潮流，mathworks公司于2016年正式推出MATLAB APP Designer.其界面简洁，操作简便，可直接在左侧拖拽出需要的控件，并通过回调函数完成各个控件间的参数传递[15].

本文基于MATLAB APP Designer设计仿真软件，将以上理论转换成程序代码，通过键入虹与霓的主要输入参数，程序自适应匹配计算，实现虹与霓现象的交互式动态仿真，仿真实验结果证明了该方法的可靠性以及增加仿真实验环节的优点.虽然本文设计的仿真APP是针对二维平面的，但只需要对程序代码和UI界面稍作调整修改，该仿真APP也可以用在三维立体空间中.

5.1 APP运行结果

程序代码经过自适应调整参数后，可顺利运行.在APP的对应窗口中输入虹与霓的主要参数，并点击“虹与霓的MATLAB仿真”按钮，可在左侧绘图区得到计算的图像，APP右下角是“计算结果”面板，显示紫光经PMMA小球折射、反射的最小偏向角和入射角等参数.程序运行结果如图7所示.

图7 程序运行结果

5.2 三维效果展示

将二维图形经过旋转，得到三维立体图，如图8所示,上为霓，下为虹,虹所在的圆环半径比霓小.

图8 三维效果图

本文基于MATLAB软件，研究了太阳光经过水滴前后的光路，为霓虹的再现提供了一种仿真模拟的方法.并为实验提供新的理论方法指导，为学生全面掌握虹与霓的光学原理提供支持.

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