基于自适应容积卡尔曼滤波的动态谐波检测

张 明，陆东亮，徐诗露，夏若平，何顺帆

（1.武汉纺织大学电子与电气工程学院，湖北武汉 430200；
2.中南民族大学计算机科学学院，湖北武汉 430074）

谐波治理一直都是电力系统中的关键问题。随着电网中大量可再生能源的接入，加上非线性负载的广泛使用，电网结构异常复杂并由此产生了大量谐波[1-2]。因此，如何有效治理谐波成为了供用电双方重点关注的问题，需要不断提升电力谐波信号的检测精度[3]。

对电力系统谐波进行快速准确的检测，目前人们已经提出了很多检测谐波的方法[4]，从谐波检测的状态分类，主要可分为稳态和动态谐波检测，其中稳态谐波比较常见也比较容易进行治理，而动态谐波仅出现于某种运行工况之下，检测的难度较高[5-6]，故动态谐波的检测算法是本文研究的重点。各种谐波检测的文献表明卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）及其扩展算法都可以检测动态谐波，文献[7]首次将局部集成变换的卡尔曼滤波器算法应用于电力系统谐波检测，能够提高动态谐波的检测精度，但是其要求处理的信号具有线性关系。文献[8-9]提出了一种扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）算法，这是一种局部方法，能够为非线性系统提供次优解，但是这种方法可能会因为模型的非线性化而导致结果出现偏差。文献[10]在EKF 的基础上引入了无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法，它减少了预测状态的线性负担，能够将精度提升至二阶等级，但是在处理二阶函数时仍然不能给出正确的二阶时刻。文献[11]提出了一种容积卡尔曼（Cubature Kalman Filter，CKF）算法来提高谐波的检测精度，其利用了三阶球面径向规则，能够解决高维状态空间问题，且由于其采用的非线性模型，能够克服线性化问题，其但是建立在噪声矩阵不变的情况下。在动态谐波检测中，不仅要考虑谐波信号的非线性化问题，还需要考虑高维问题以及因为系统噪声引起的检测误差，因此，本文在CKF的基础上通过引入噪声估值的遗忘因子，提出了一种自适应容积卡尔曼滤波（Adaptive Cubature Kalman Filter，ACKF）算法，仿真结果表明本文提出的算法在动态谐波检测中具有更高的精度。

卡尔曼滤波是一种基于时域的滤波方法，将某一时刻测量的数据作为量测量来预测下一时刻的状态量。设k时刻一组随机的离散线性方程为[12-13]：

式中：Xk为系统的状态向量；
Ak-1为k-1 时刻的状态转移矩阵；
Wk-1为k-1 时刻的系统噪声向量；
Zk为系统的量测向量；
Hk为系统的量测矩阵；
Vk为系统的量测噪声向量。

假设系统中出现的噪声都是高斯白噪声，则其均值满足为0，系统噪声方差矩阵为Q，量测噪声方差矩阵为R。

由式（1）可知，当前状态的预测X′k-1是根据当前时刻测量的数据得来的，可以写成关系式（2），而下一时刻的预测又是在当前预测的基础上做出的，所以可以得到式（3）。

因为系统噪声只对状态向量产生影响，所以忽略E[Wk-1/Z1Z2…Zk-1]，E表示单位向量，由式（2）和式（3）就可以得到预测状态向量：

而在实际应用中，预测的状态量与状态量的真实值总存在一定的误差，由式（1）可知，状态量产生误差也将会影响量测值Zk，所以就有如下推导：

式中：ΔX′k为预测状态量与真实状态量之间的误差。

式中：Z′k为预测状态向量出现误差下的测量值；
B为Zk与Z′k之间的残差值。

由式（6）可以看出，通过处理残差可以达到降低预测误差的目的，引入滤波增益Kk，则可以得到修正后的状态向量为：

在预测的过程中求得合适的滤波增益系数是本算法的关键。

卡尔曼滤波是一种最小均方误差估计，在修正后的状态向量X″k的基础上继续求得差值记为ΔX″k=Xk-X″k。

则结合式（1）、式（5）和式（7）可得：

于是有：

因为量测噪声Vk不会对状态向量产生影响，所以二者满足不相关，就有[14]：

式中：Pk为系统的偏差矩阵，使其达到最小值则可以求得Kk的值：

然后将式（13）代入式（11）中可得系统的偏差矩阵为：

最后由状态向量误差推导出预测偏差矩阵为：

式中：Qk-1为k-1时刻系统噪声的方差矩阵。

传统的卡尔曼滤波算法能够预测出动态谐波信号的相关信息，但它是建立在一种具有线性关系的基础上，具有一定的局限性，需要进一步的分析研究。

传统的卡尔曼滤波只能对线性关系的状态方程进行处理，在实际中是无法运用的，因此需要在传统方法的基础上进行改进，针对此问题，提出了一种基于自适应的容积卡尔曼滤波算法[15]。

2.1 容积卡尔曼滤波算法

对于高斯分布下的非线性滤波问题，实际上就是求解状态量的后验概率密度函数乘积的积分值，CKF 可以看作是一种利用三阶球面径向规则生成一组等权值的容积点来求解后经验期望的积分[16]。传统的卡尔曼滤波的一般积分形式可以表示为：

式中：G(f)为待求的积分；
Rn为n维的积分域；
f(x)为非线性积分；
x为状态向量。

在容积卡尔曼滤波算法中需要将一般积分形式变换为球面径向积分形式和三阶球面径向积分形式，经过对式（16）的转化，球面径向积分形式可以表示为：

由式（17）可以发现，该变换是将状态向量x的积分分解为半径r与方向向量y相关的二重积分，式（17）中x=ry,r∈[0,+∞)，令yTy=1，因此可得xTx=r2，可以看出变换后积分中的球面单位为Un={y∈Rn|yTy=1}，σ(·)表示积分域的积分微元。

对式（17）进一步转化可得：

式中：S(r)为球面积分，S(r)=∫Un f(ry)dσ(y)

在完成了球面径向积分形式的转化后，对式（18）和S(r)使用三阶球面准则，可得mr×ms的球面径向容积准则为：

式中：mr=1，ms=2n表示容积点的点数；
{ai,ri} 为计算径向积分容积点集合；
{bj,yj} 为计算球面积分容积点集合。

为了更好地说明容积卡尔曼滤波算法在非线性动态谐波检测上的应用，设一个随机的非线性离散方程为：

式中：xk为k时刻的状态量；
zk为k时刻的量测量；
wk，vk分别为系统噪声和量测噪声，假设其为高斯白噪声，则其方差也满足高斯白噪声，即wk～(0,Qk),vk～(0,Rk)，R，Q之间互不相关，且其均值为0。

容积卡尔曼滤波算法的实现可以分为初始化、状态预测和状态校正3 个步骤[17-19]。

2.1.1 初始化

在利用CKF 进行动态谐波状态估计时需要给出前一时刻的量测量，本文给定k时刻的状态量和估计偏差矩阵分别为xk和Pk|k。

当k=0 时刻时，假设x0～(xˉ0,P0),Q0,R0，则得滤波器的最优初始化为：

2.1.2 状态预测

状态预测就是根据球面径向规则生成的容积点集结合状态方程来估计下一时刻的状态量，并能够计算状态量的偏差矩阵，据此可以得到关于容积点的表达式如下：

式中：ξj为容积点，，其中[L]为n维空间的点集矩阵如式（23）所示；
[L]j为第j个容积点；
j取为权值；
m为容积点的个数，在三阶球面径向规则下满足m=2n。

根据预测的本质，通过k时刻的估计偏差矩阵Pk|k计算谐波状态的等权值容积点。

在得到了谐波的等权值容积点后，结合离散方程就可以估计出下一时刻系统的状态向量，其表达式如下：

由容积点的非线性传播和进一步的转化可以计算得到谐波在k+1 时刻的估计偏差矩阵：

2.1.3 状态校正

1）结合式（27）可计算谐波状态向量测量的等权值容积点：

将其代入离散方程式（20）中就可以得到测量的量测向量。

再由式（26）就可以估计预测的谐波状态测量值：

2）将估计得到的和实际测量得到的谐波状态量对比，可以得到误差系数，求得修正后的谐波状态向量和谐波估计偏差矩阵。

则可得：

式中：Pvv,k+1为更新后的量测量估计偏差矩阵；
Pvz,k+1|k为估计的交叉协方差矩阵。

最后由更新后的式（31）和式（32）计算得到滤波增益系数Kk+1，就可以得到k+1 时刻估计的谐波状态向量均值和偏差矩阵Pk+1。

2.2 基于渐消记忆指数加权法的噪声估值算法

容积卡尔曼滤波谐波动态估计可以得到很好的估计效果，但其是建立在电力系统中系统噪声和量测噪声都保持不变的前提下，而实际中的协方差矩阵Q和R都是在不断变化的，这也就使得容积卡尔曼滤波只能停留在理想状况下，不能捕捉到估计噪声协方差所需的整体噪声动态。因此，在容积卡尔曼滤波的基础上加入了基于渐消记忆指数加权法的噪声估值算法来得到一种自适应容积卡尔曼滤波（ACKF）算法，以自适应系统不断变化的噪声[20-22]。

基于渐消记忆指数加权法引入了噪声估值遗忘因子α，这个因子决定了对过去的噪声协方差估计和当前的噪声瞬时估计的权重大小，并且可以提供噪声协方差的过去和现在估计的加权平均值。而当遗忘因子为所有过去的估计提供恒定的权重时，可能无法跟踪系统噪声指标的变化[23]。因此，引入了衰落记忆的概念，通过不断遗忘过去的陈旧数据而加大对现在估计生成的噪声数据，以指数衰减的形式加权过去的估计，通过式（34）确定加权系数，加权系数由遗忘因子用于确定每个延迟的权重估计，过去的权重往往呈指数衰减从而产生衰减记忆。在动态谐波状态估计中，由于新生成的噪声数据与下一时刻的噪声数据具有相似性，因此，渐消记忆指数加权法就是通过遗忘因子确定前后时刻的加权系数，由加权系数再结合前面的离散方程就可以得到新的系统噪声和量测噪声的协方差矩阵。

式中：dk为加权系数；
α取0.85；
Q′k+1为k+1 时刻生成的系统噪声的协方差矩阵；
R′k+1为k+1 时刻生成的量测噪声的协方差矩阵，其中εk=Zk-h(xk)，表示残差值。

在原始的算法中加入基于渐消记忆指数加权法的噪声估值器，得到自适应的容积卡尔曼滤波算法，其步骤为：

1）采用渐消记忆指数加权法生成系统噪声和量测噪声的时变协方差矩阵分别表示为Q′k+1和R′k+1；

2）用修正后的Q′k+1替换式（27）中的Qk+1得到k+1 时刻谐波状态量的估计偏差矩阵，然后由式（28）和式（30）分别计算谐波量测量的等权容积点和谐波量测量，进而就可以求得在时变噪声下的系统状态向量和总的误差偏差矩阵。

3.1 仿真分析

为了验证本文ACKF 算法用于动态谐波检测的有效性，选择KF，CKF 和ACKF 3 种算法，通过仿真分析比较这3 种算法进行动态谐波检测的性能。

为了评估算法性能，引入评价指标幅值均方根误差Ra和相角均方根误差Rp分别衡量检测谐波幅值和相角的准确度，其计算式分别为：

首先将ACKF 算法与CKF 算法进行比较验证。仿真分析采用如表1 所示的动态谐波信号频谱，其他仿真参数设置为采样频率4 000 Hz，采样时间0.2 s，数据共800 个点，其中在0.1 s 时幅值增加1.5 倍，同时加入高斯噪声，信噪比为50 dB。

表1 动态谐波信号频谱表Table 1 Dynamic harmonic signal spectrum

CKF 算法用于动态谐波检测的仿真结果如图1～图6 所示。

图1 原始谐波信号与CKF算法跟踪信号Fig.1 Original harmonic signal and tracking signal with CKF algorithm

图1 为对原始动态谐波信号的动态跟踪效果，图2—图6 展示了该算法实时估计出的各次谐波的幅值和相位。由图1 可以看出CKF 算法可以追踪到动态谐波信号，但在初始时刻出现了一些偏差。由图2—图6 中的波形可以得出CKF 算法对基波和各次谐波的幅值估计在初始位置存在误差，需要进一步修正。

图2 CKF算法估计的基波幅值与相角Fig.2 Fundamental amplitude and phase angle estimated by CKF algorithm

图3 CKF算法估计的5次谐波幅值与相角Fig.3 Fifth harmonic amplitude and phase angle estimated by CKF algorithm

图4 CKF算法估计的7次谐波幅值与相角Fig.4 Seventh harmonic amplitude and phase angle estimated by CKF algorithm

图5 CKF算法估计的11次谐波幅值与相角Fig.5 11th harmonic amplitude and phase angle estimated by CKF algorithm

图6 CKF算法估计的13次谐波幅值与相角Fig.6 13th harmonic amplitude and phase angle estimated by CKF algorithm

ACKF 算法用于动态谐波检测的仿真结果如图7—图12 所示。其中图7 为对原始动态谐波信号的动态跟踪效果，图8—图12 展示了算法实时估计出的各次谐波的幅值和相位。

图7 原始谐波信号与ACKF算法跟踪信号Fig.7 Original harmonic signal and tracking signal with ACKF algorithm

图8 ACKF算法估计的基波幅值与相角Fig.8 Fundamental amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm

图9 ACKF算法估计的5次谐波幅值与相角Fig.9 Fifth harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm

图10 ACKF算法估计的7次谐波幅值与相角Fig.10 Seventh harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm

图11 ACKF算法估计的11次谐波幅值与相角Fig.11 11th harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm

图12 ACKF算法估计的13次谐波幅值与相角Fig.12 13th harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm

由图7 中的跟踪波形可以看出，ACKF 算法的准确度更高，在初始时刻的波形抖动很小。由图8—图12 可以看出ACKF 算法在幅值和相位上能准确估计出真实值。

最后将KF 算法同样应用于对基波、5 次谐波、7次谐波、11 次谐波和13 次谐波的动态谐波信号检测中，比较结果见表2。从表2 中可以看出，在有噪声干扰下，ACKF 算法的动态谐波检测精度在总体上要高于CKF 算法与KF 算法，能够很好地跟踪动态谐波信号，同时也能很精确地估计出各阶次谐波的幅值和相位。

表2 3种算法的Ra，Rp值比较Table 2 Comparison of Ra and Rp among three algorithms

3.2 在有源滤波器谐波检测中的应用

有源滤波器（Active Power Filter，APF）[24-25]主要用于抑制电力系统的动态谐波，其高效工作的基础是实时、准确地检测谐波，传统的谐波检测方法如傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），虽然有广泛应用，但一般会有1 个周期以上的时间延迟，同时存在检测精度不高等问题。这里尝试将ACKF 算法应用到APF 中，其系统原理框图如图13 所示。

图13 有源滤波器系统结构框图Fig.13 Structure diagram of active filter system

基于Simulink 搭建400 V 有源滤波器仿真系统。采样频率设置为4 000 Hz，仿真时间为0.2 s，采集电流数据共800 个点，其中在0.1 s 时将负荷增加1.2 倍，同时加入高斯噪声，信噪比为50 dB，其仿真结果如图14—图17 所示。

图14 ACKF算法估计的5次谐波幅值与相角Fig.14 Fifth harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm in active filter simulation

图15 ACKF算法估计的7 次谐波幅值与相角Fig.15 Seventh harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm in active filter simulation

图16 ACKF算法估计的11次谐波幅值与相角Fig.16 11th harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm in active filter simulation

图17 ACKF算法估计的13次谐波幅值与相角Fig.17 13th harmonic amplitude and phase angle estimated by ACKF algorithm in active filter simulation

图14—图17 展示了ACKF 算法实时估计出的5 次，7 次，11 次，13 次谐波的幅值和相位，由仿真结果可以看出，在有噪声干扰下，ACKF 算法应用于有源滤波器谐波电流检测，实时性更好、精度更高。

以电网某些运行工况下出现动态谐波信号为切入点，介绍了卡尔曼滤波动态谐波检测算法的基本原理，针对传统卡尔曼滤波只能处理线性关系下的动态谐波信号等问题，采用了一种容积卡尔曼滤波算法，在描述了容积卡尔曼滤波的原理后详细推导了其实现的3 个步骤，然后又针对容积卡尔曼滤波算法存在的缺点引入了基于渐消记忆指数加权法的噪声估值算法，将两者结合起来构成了自适应容积卡尔曼滤波（ACKF）算法，最后通过仿真验证了本文提出的ACKF 算法在动态谐波检测中的有效性。

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