平面假设在弹塑性变形中的合理应用*
时间：2023-02-17 09:10:07 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
□ 来 勇 □ 李雨林 □ 李智慧
宝鸡文理学院 机械工程学院 陕西宝鸡 721016
材料力学理论是建立在试验认识基础上的,通过对大量试验现象的观察,提出了杆件变形的平面假设,依此假设,推导出杆件轴向拉压时的应力均匀分布,圆轴扭转时的切应力沿径向斜直线分布,梁纯弯曲时的应力距中性轴斜直线分布。弹性力学用逆解法将材料力学解代入基本方程,验证了平面假设严格成立。到了塑性力学中,仍由观察认为小塑性变形条件下,杆件平面假设依然成立,并以此推导了轴、梁在弹塑性变形下的应力场分布形式。平面假设如此重要,它的自然本质是什么？不论材料力学试验现象观察,还是弹性力学逆解法,都没有把问题讲清楚。塑性力学仍用简单观察来解释,更使人产生疑问。杆件在力作用下出现变形,是一个自然现象,必有其自然规律,各种不同的变形形式和应力分布必然遵守着一定的自然原理。从能量原理分析入手,可认识到弹性变形这一自然现象存在最小变形能极值原理,金属材料弹性变形由材料受力原子间距改变而形成,对应的弹性场具有保守场性质,弹性物内的物理量一一对应,且能量守恒。杆件发生的弹性变形,杆件上应力应变分布规则与平面假设都遵循着弹性保守场的性质。塑性变形不具有保守场性质,构件在弹塑性变形时,平面假设不再成立。
对受力杆件,外力在位移上所做的功等于对应应力在相应的应变上所做的功,可表示为:
(1)
式中:v为体积;s为面积;f为作用在弹性体上的力;p为作用在研究对象表面上的力;σ为与外力所对应的应力;u为位移;ε为位移所对应的应变。
式(1)即为弹性变形虚功原理,也等价于最小变形能原理,即在满足变形连续条件和位移边界条件的所有可能变形中,真实的变形使结构变形能为最小值。
由热力学第二定律,物体受外部影响、从一个平衡态经过一串缓慢变化的平衡态,到达一个新的平衡态,稳定平衡条件下内能是正定的、并取最小值。对工程结构,静载作用下的弹性变形、弹塑性变形平衡状态,结构中的内能就是材料中的变形能。因此,受力结构弹塑性静力平衡时,变形能取最小值是结构变形自然原理或变形规则。
3.1 圆轴扭转时变形规则
处在弹性变形阶段的受扭圆轴如图1所示。
▲图1 受扭圆轴
圆轴所受扭矩T为:
(2)
总变形能U1为:
(3)
式中:τ为横截面上任意一点处的切应力;G为材料的切变模量;γ为横截面上任意一点处的切应变;R为圆轴半径;ρ为横截面上所求应力点到圆心的距离;l1为圆轴长度。
若f(x)和g(x)为任意函数,由施瓦兹积分不等式有:
(4)
可在式(4)中令x=ρ,f(x)=ρ1/2γ,g(x)=ρ3/2,则有:
(5)
可得:
(6)
式中:IP为横截面对圆心的极惯性矩。
式(6)中,仅当γ/ρ为常数时等号成立。由最小变形能原理确定,圆轴弹性扭转时,变形规则是γ/ρ为常数,应变γ沿径向线性分布,对应的变形是横截面作刚性平面转动。
3.2 纯弯曲梁变形规则
处在弹性变形阶段的纯弯曲梁,如图2所示。
▲图2 纯弯曲梁
弯矩Mz为:
(7)
总变形能U2为:
(8)
式中:σM为横截面上任意一点处的正应力;E为材料的弹性模量;εM为横截面上任意一点处的正应变;y为梁横截面上任意一点到Z轴的距离;b(y)为距Z轴y处的横截面宽度;h为梁横截面的高度;l2为纯弯梁的长度。
f(x)和g(x)均为任意函数,可在式(4)中令x=y,f(x)=(b(y))1/2εM,g(x)=(b(y))1/2y,则有:
(9)
(10)
式(9)中,仅当εM/y为常数时等号成立。由最小变形能原理确定,纯弯曲梁弹性变形时,变形规则是εM/y为常数,应变εM距中性轴线性分布,变形是横截面绕中性轴作平面转动。
以上分析表明,最小变形能原理确定了杆件弹性变形能及相应的应力和应变的分布规则,即扭转轴、弯曲梁弹性变形时,其任意一个横截面均保持为平面,平面假设真实成立。
对于杆件弹塑性小变形问题的求解,过去的研究中也认为平面假设仍然成立。由此推导出,圆轴弹塑性扭转时,弹塑性切应变沿径向线性分布,切应力分为弹性区和塑性区,分别呈线性和非线性分布,使用理想弹塑性模型时,应力在横截面上分布如图3所示。梁弹塑性纯弯曲时,弹塑性线应变距中性轴线性分布,使用理想弹塑性模型时,应力在横截面上分布如图4所示。这些理论解已被广泛应用,但是否准确,应取决于杆件在弹塑性小变形下平面假设是否真实存在。
▲图3 受扭曲轴弹塑性应力分布▲图4 纯弯梁弹塑性应力分布
▲图5 梁弯曲时载荷变形曲线
在弹性变形中,各物理量存在着一一对应关系,所对应的弹性变形规律与应力分布规律也就完全确定。弹塑性变形时,梁中弹性变形仍绕中性轴作平面转动,平面假设仅在弹塑性变形中的弹性变形部分成立,考虑梁上还有塑性变形发生,那么梁的弹塑性总变形不再符合平面假设。
在弹塑性小变形时,由于塑性变形为永久变形,使杆件几何形状发生改变。在考虑塑性变形的杆件新几何形状上,杆件内弹性变形仍要满足变形协调条件,平面假设应是杆、轴、梁等的变形协调条件。
金属材料弹性变形的主要特征是力、变形、应力、应变,以及变形能一一对应,具有保守场的性质。在弹塑性小变形时,弹性变形性质不发生变化,杆件的受力变形和平面假设由弹性变形性质而决定。弹塑性小变形时,其中的弹性变形仍符合平面假设,而弹塑性总变形则不符合平面假设。
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