考虑目标机动和落角约束的二阶滑模制导律

王思卓， 范世鹏， 林德福， 刘经纬

(1.北京理工大学 宇航学院， 北京 100081；

2.北京理工大学 中国- 阿联酋智能无人系统“一带一路”联合实验室， 北京 100081)

传统的比例导引制导律形式简单、易于实现，在工程上得到了广泛的应用[1-2]。随着现代战争的不断发展，目标的防御性和机动性越来越强，因此要求导弹能够在精确命中目标的同时满足期望的终端落角[3-4]。如拦截导弹时能以较小的迎角直接与目标碰撞。打击地面坦克、飞机机翼等目标时，能以适当的角度对其薄弱部位进行毁伤。针对此类机动目标，当目标机动能力较强时，在末制导段逃逸能力强[5]，运动状态变化剧烈，弹目视线角速率具有大幅振荡的特性，且随着弹目距离的接近发散更加严重，使脱靶量增大[6]。此外，高机动导弹末制导段弹目距离较近，目标运动估测误差等微小扰动会对弹目视线角速率获取产生较大的影响。因此有必要研究带终端角度约束的强鲁棒性制导律。

随着现代控制理论的发展，多种控制方法被应用于导弹制导领域，如H∞控制[7-9]、李雅普诺夫函数方法[10-11]、滑模变结构控制[12-14]等。

滑模变结构控制具有高精度和强鲁棒性的特点，因而广泛应用于带约束的制导律设计[15-16]。文献[17]利用终端滑模(TSM)针对静止目标设计了一种有限时间收敛的角度约束制导律。文献[18]基于零化视线角速率的思想分析了终端碰撞角和弹目视线角的关系，并针对机动目标提出基于终端滑模的角度约束制导律。但终端滑模存在固有的奇异问题，容易导致系统发散。为解决该问题，文献[19-20]提出基于非奇异终端滑模(NTSM)的角度约束制导律。NTSM虽解决了奇异问题，但其含有的不连续切换函数引起了高频抖振现象，这将会激发系统的未建模高频特性，导致系统制导性能变差，甚至破坏系统的稳定性[21]。为抑制高频抖振，边界层法、趋近律法、观测器法等都是有效的解决方法。文献[22]利用连续的饱和函数对符号函数进行近似处理，降低了抖振，但是该方法导致系统鲁棒性随着边界层的增大而下降。为解决该问题，文献[23]基于高阶滑模算法设计了一种具有连续特性的二阶滑模制导律，将Super-twisting算法作为滑模控制的趋近律，消除了制导律中的不连续项，从而削弱了抖振。但传统Super-twisting算法存在系统状态远离平衡点时收敛速度慢、不能充分利用导弹过载能力的不足[24]。观测器法是一种前馈扰动抑制的方法，其思想是在线估计系统的扰动并前馈到控制律中来实现对扰动的抑制。针对攻击机动目标的制导问题，文献[25]设计了一种高增益观测器(HGO)对系统扰动进行估计。文献[26]设计了一种H∞观测器对目标加速度进行估计。但文献[25-26]所设计的观测器只是渐近收敛。为此，文献[27]设计了一种扩张状态观测器(ESO)估计目标的加速度，且是有限时间收敛的，能有效克服目标机动带给系统的干扰。但该观测器需要目标加速度上界信息，而该信息一般不易获得。

针对上述问题，本文基于自适应滑模扰动观测器和Super-twisting算法设计了一种有限时间收敛的二阶滑模制导律，在传统Super-twisting算法的基础上引入快速收敛项，提升了系统状态远离平衡点时的收敛速度，充分利用了导弹的过载能力，并有效地解决了抖振问题。针对攻击高机动目标的情形，本文将目标加速度视为系统扰动，设计了一种自适应滑模扰动观测器对系统的扰动进行在线估计。与前述几种观测器不同，本文通过对该观测器的增益进行自适应处理，克服了传统观测器设计增益时对系统上界信息的依赖，所提算法能够在保证控制精度的同时，有效地克服滑模控制中常见的高频抖振现象，并以期望的终端落角命中目标。

1.1 问题描述

在惯性坐标系下建立弹目相对运动关系，如图1所示。图1中，Oxy为地面惯性坐标系，r为弹目相对距离，q为弹目视线角，M和T分别表示导弹和目标，θM和θT分别为导弹的弹道倾角和目标的航迹角，vM和vT分别为导弹和目标的速度，aM和aT分别为导弹和目标的法向过载。规定图1中所有角度逆时针为正。

图1 弹目相对运动模型Fig.1 Relative motion model of missile and target

根据图1中的弹目相对运动关系，得到导弹末制导阶段的数学模型为

(1)

(2)

(3)

(4)

对(1)式和(2)式分别求1阶导数，可得

(5)

(6)

式中：aMr、aTr分别为导弹和目标沿弹目视线方向的加速度，aMr=aMsin(q-θM)，aTr=aTsin(q-θT)；
aMq、aTq分别为导弹和目标垂直于弹目视线方向的加速度，aMq=aMcos(q-θM)，aTq=aTcos(q-θT)。对于大部分气动力控制的战术导弹，沿着速度方向的轴向加速度往往不可控，因此本文仅利用(6)式设计制导律。

假设导弹命中目标时，攻角近似为0°，则落角可以近似为命中时刻导弹的弹道倾角和目标航向角之差，如图2所示。

图2 导弹命中时刻落角示意图Fig.2 Impact angle at the time of hitting the target

图2中，θi为期望的落角，qf为命中时刻的弹目视线角，θMf和θTf分别为命中时刻导弹的弹道倾角和目标航向角，则有

θi=θTf-θMf

(7)

根据零化视线角速率的思想，在命中时刻，以下关系成立：

vMsin (θMf-qf)=vTsin (θTf-qf)

(8)

根据几何关系，可以进一步得到：

vMsin (θTf-qf-θi)=vTsin (θTf-qf)

(9)

vMsin (θTf-qf)cosθi-vMcos (θTf-qf)sinθi=vTsin (θTf-qf)

(10)

(11)

整理可得：

(12)

(13)

q(tf)=qf

(14)

选择系统的状态变量为

(15)

对(6)式进行整理，可得带落角约束的制导系统状态方程：

(16)

1.2 相关引理

为分析和证明方便，引入如下引理：

引理1[28]对于如下系统：

(17)

引理2[29]对于如下系统：

(18)

式中：c1、c2均为正常数；
0<α1<1,α2>1。该系统的平衡点是有限时间稳定的，且收敛时间满足：

(19)

引理3[30]考虑如下Super-twisting算法：

(20)

式中：k1、k2为待设计参数，则该算法是有限时间收敛的。该引理的证明可参考文献[31]。

引理4[32]假设V(x)是定义在U⊂n上的C1光滑正定函数，如果对于任意β1>0和β2∈(0,1)都有定义在U⊂n的函数满足：

(21)

则存在区域U0⊂n使得任意初值在U0⊂n内的V(x)都能在有限时间内到达V(x)≡0。另外，到达V(x)≡0的时间Tr满足：

(22)

进一步地，对于任意常值参数c,l>0和0<κ<1，都有定义在U⊂n的函数V(x)满足：

(23)

则存在区域U0⊂n使得任意初值在U0⊂n内的V(x)都能在有限时间内到达V(x)≡0。另外，到达V(x)≡0的时间Tr满足：

(24)

引理5[33]考虑如下系统：

(25)

ua(t)=-[μa+σa(t)]sgn (ψa)

(26)

μa>0、σa(t)为自适应增益，满足如下的自适应律：

(27)

(28)

ηa(t)=r0a+ra(t)

(29)

(30)

(31)

(32)

从而能够保证有限时间内实现σa(t)>|a(t)|，使得滑动模态能够持续。此外，自适应增益σa(t)和ηa(t)是有界的。

在参数δ0a、αa、qa给定的情况下，只需知道ρ1的阶数，选择足够大的γa，即可通过选择合适的εa使不等式(32)式成立，而无需知道ρ1的具体值。

对于滑模面ψa，等效控制输入ueqa就是a(t)。根据自适应律(27)式～(31)式，σa将会不断增大直至滑模运动开始发生，之后σa开始减小。因此它将收敛至一个安全的邻域内，该邻域保持在ueqa附近，且取决于参数εa和αa。该邻域表示为

(33)

针对制导系统(16)式设计自适应滑模扰动观测器。

考虑如下辅助变量：

e=z-x2

(34)

式中：z满足如下动力学方程：

(35)

c1d>0，c2d>0，0<α1d<1，α2d>1。

考虑如下滑模面：

(36)

(35)式中的变量vz满足如下动力学方程：

(37)

式中：μd>0；
σd(t)>L1。则对系统扰动d的估计可由(38)式得到：

Δ=vz

(38)

证明对(34)式求导，可得

(39)

(39)式代入(36)式，可得

Sd=vz-d

(40)

对(40)式求1阶导数，得

(41)

取如下李雅普诺夫方程：

(42)

则

(43)

由于Td>0且σd(t)>L1，则有

(44)

因此滑模面Sd将在有限时间内收敛至0。

此时，将Sd=0代入(36)式，可得

(45)

由引理2可知，e将在有限时间内收敛至0，收敛时间满足：

(46)

系统扰动的估计误差可由(47)式定义：

ed=Δ-d

(47)

式中：Δ是自适应滑模扰动观测器的输出量。

根据(38)式和(40)式可知ed=0。因此，观测器(34)式～(38)式能够在有限时间内准确跟踪扰动d。

上述内容也说明当σd>L1时，所提出的扰动观测器能够在有限时间内对系统扰动d作出准确估计，但在实际问题中，L1的具体值很难获取[33]，因此采用自适应方法对该观测器进行改进。

考虑(34)式～(38)式所设计的滑模扰动观测器，增益σd将通过以下自适应律进行更新：

(48)

(49)

ηd(t)=r0d+rd(t)

(50)

(51)

(52)

(53)

因此，σd(t)>|L1|将在有限时间内实现，从而保证滑动模态能够持续。此外，σd(t)和ηd(t)是有界的。

不等式(53)式只是充分条件。因此，并不需要设定L2的具体值，只要参数γd选取的足够大，不等式(53)式即可成立。

3.1 制导律设计

根据(16)式，aM可进一步表示为aM=aeq+aaux，aeq为等效控制项，aaux为辅助控制项。

滑模控制可分为两个阶段：第1阶段是趋近段，在该时间段内，系统状态将在辅助控制项aaux的作用下从初始状态收敛至滑模面上；
第2阶段是滑动段，在该段时间内系统状态将在等效控制项aeq的作用下沿着滑模面滑动至平衡点，实现状态收敛。

终端滑模控制采用非线性函数作为滑模面，能使系统状态在有限时间内收敛，但是该方法存在奇异问题。为避免奇异问题，且获得更高的控制精度，更快的收敛速度[34]，本文采用非奇异终端滑模面进行制导律设计。设计滑模面为

(54)

式中：β为待设计参数，β>0；
1<α<2。

对(54)式求1阶导数，得

(55)

将(16)式代入(55)式，可得

(56)

(57)

Super-twisting算法是一种二阶滑模算法，因其能有效削弱抖振、具有强鲁棒性和高精度控制等优越的特性而在控制问题中被广泛使用。但是传统的超扭曲算法在系统状态距离平衡点较远时收敛速度较慢，而引理1给出的控制系统是指数收敛的，在远离零点时收敛速度较快，结合二者的优点，设计一种快速Super-twisting算法：

(58)

将该算法作为滑模控制的趋近律，可设计辅助控制项为

(59)

根据(57)式和(59)式，可得制导系统的控制律为

(60)

3.2 稳定性证明

证明下面分|s|≠0和s=0两种情况对稳定性进行讨论。

1)当|s|≠0时，定义如下李雅普诺夫函数：

(61)

该李雅普诺夫函数几乎处处可微，仅在|s|=0处不可微[35]。

对(61)式求导并代入(58)式，可得

(62)

构造如下新向量：

ξT=[|s|1/2sgn (s),s,f]

(63)

则(61)式可改写为如下形式：

V1=ξTAξ

(64)

式中：

(65)

函数V1是连续正定函数，且径向无界。由于k1,k2,k3,k4>0，有

λmin{A}‖ξ‖2≤V1≤λmax{A}‖ξ‖2

(66)

式中：‖ξ‖2=s+s2+f2，‖·‖表示欧氏范数；
λmin{A}和λmax{A}分别表示矩阵A的最小和最大特征值。

进一步由(65)式可得

(67)

因此，(62)式可改写为

(68)

式中：

(69)

(70)

(71)

由(68)式可推知：

(72)

式中：λmin{A1}和λmin{A2}分别表示矩阵A1和A2的最小特征值。

由(67)式、(68)式和(72)式可得

(73)

(73)式可表示为

(74)

由引理4可知，V1将在有限时间内收敛至0，即s也将在有限时间收敛至0，且收敛时间满足：

(75)

2)当s=0时，系统轨迹到达滑模面(54)式，(76)式成立：

(76)

对(76)式进行移项整理，可得

(77)

对于系统(76)式，选择如下的李雅普诺夫函数：

(78)

对(78)式求导，可得

(79)

根据引理4可知，系统稳定，且弹目视线角将在有限时间内收敛至期望值。将x1=0代入(76)式可知，弹目视线角速率将在有限时间内收敛至0°/s。因此，定理1成立，证毕。

(60)式所设计的制导律具有如下优点：1)不需要提前知道目标的加速度上界，更有利于实际实施；
2) 能保证系统状态有限时间内收敛，且能够充分利用导弹的过载能力，系统状态在远离零点时的收敛速度得到提升；
3)不期望的高频抖振现象得到有效抑制，有利于控制系统的实现。

为了验证本文所提出的制导律的有效性，进行仿真分析。导弹和目标、自适应滑模扰动观测器相关参数值、制导律设定分别如表1、表2和表3所示。

表1 导弹和目标相关参数值Table 1 Parameters of missile and target

表2 自适应滑模扰动观测器相关参数Table 2 Parameters of adaptive sliding mode disturbance observer

表3 制导律相关参数Table 3 Parameters of guidance law

重力加速度取g=9.8 m/s2，导弹的最大加速度aMmax=30g。为充分验证制导律的鲁棒性，假设目标可能采取以下3种不同机动方式规避我方导弹拦截：

图4 场景1仿真结果Fig.4 Simulation results of Scenario 1

1)场景1。目标做常值机动:aT=50 m/s2。

2)场景2。目标做正弦机动:aT=50sin (0.25πt)。

3)场景3。目标做特定机动：机动加速度如图3所示。

图3 目标特定机动方式Fig.3 Specific maneuver mode of target

针对这3种不同场景，利用制导律(60)式得出的仿真结果如图4～图6所示，图4是场景1的仿真图，图5是场景2的仿真图，图6是场景3的仿真图。

图5 场景2仿真结果Fig.5 Simulation results of Scenario 2

图6 场景3仿真结果Fig.6 Simulation results of Scenario 3

为说明制导律(60)式的鲁棒性，选择终端落角为30°，在3种场景下绘制导弹法向加速度与目标机动加速度的对比曲线，如图7所示。

图7 3种场景下加速度对比曲线Fig.7 Acceleration comparison under three scenarios

图7表明，在制导过程末段，目标机动加速度与导弹过载加速度绝对值大小相当，此时目标机动加速度将给制导系统带来较大干扰。

3种仿真场景下的脱靶量和实际终端落角分别如表4、表5、表6所示。

由于自适应滑模扰动观测器能够在线估计系统扰动，对于不同目标机动类型以及不同的终端落角角度约束，制导律(60)式均能够完成高精度拦截任务，脱靶量均小于0.2 m，弹目视线角在3种场景下均能收敛到期望值，且误差小于0.5°。弹目视线角速率在3种情况下均能收敛到0°/s。由于制导律(60)式是非光滑的连续信号，传统滑模控制带来的高频抖振得到了很好的抑制，且由于引入了快速收敛项，其收敛速度得到了提升(见表7)。

为了进一步演示制导律(60)式的优势，将其与传统的Super-twisting非奇异终端滑模制导律(ST-NTSM)以及标准的NTSM进行对比仿真。为了描述方便，将(60)式的制导律命名为快速Super-twisting非奇异终端滑模制导律(FST-NTSM)。ST-NTSM[36]定义为

(80)

式中：Z2为扩张状态观测器(81)式的输出量:

(81)

函数fal(E1,a,b)定义为

(82)

扩张状态观测器参数选取为：β01=50，β02=500，a=0.01，b=0.1。

NTSM[37]定义为

(83)

式中：α=9/7；
β=1；
K为符号增益，K=400。

选择终端落角为30°，在场景2下对3种制导律进行对比仿真，仿真结果如图8所示。

表4 场景1下的脱靶量和实际终端落角Table 4 Miss distance and actual terminal angle of Scenario 1

表5 场景2下的脱靶量和实际终端落角Table 5 Miss distance and actual terminal angle of Scenario 2

表6 场景3下的脱靶量和实际终端落角Table 6 Miss distance and actual terminal angle of Scenario 3

表7 弹目视线角收敛时间(2%误差)Table 7 Convergence time of LOS angle (2% error)

图8 3种制导律对比仿真结果Fig.8 Comparison of the three guidance laws

图8(d)、图8(e)表明，在3种制导律的导引下，弹目视线角均能收敛至30°且弹目视线角速率均能收敛至0°/s。由图8(b)可以看出，NTSM的法向过载变化曲线中出现了不期望的高频抖振，这将对执行机构产生极大的不利影响，且在一定程度上会激发系统的未建模部分。此外，NTSM中的增益K的选择需要提前获知目标机动信息的上界，而该信息在实际情况中往往很难获得，从而限制了该制导律的实际应用范围。而FST-NTSM由于采用了自适应滑模扰动观测器对系统扰动进行估计并补偿，因此不需要知道目标机动的上界，且发挥了Super-twisting算法的优势，使得不希望出现的高频抖振得到解决。由图8和表7可以看出，NTSM、ST-NTSM的收敛速度相对较慢，而在对海作战、攻击舰载重要目标等作战场景中，战机稍纵即逝，需要导弹具有高敏捷性实现快速攻击，即弹目视线角快速收敛至期望值。而FST-NTSM由于采用了快速Super-twisting算法作为趋近律，在末制导初期出现更长时间的过载饱和，这说明该段时间内导弹的过载能力得到了最大限度的利用，因此相较于NTSM收敛速度提升了29.3%，相较于ST-NTSM提升了30.8%。

本文基于滑模控制理论，研究了考虑目标机动干扰和落角约束的制导问题。选取的非奇异终端滑模面可有效避免奇异问题，并使系统状态在有限时间内收敛，在传统Super-twisting算法基础上引入快速收敛项，使导弹的过载能力得到充分利用，提升了系统状态的收敛速度。针对攻击高机动目标的场景，设计了自适应滑模扰动观测器对系统扰动进行在线估计，对观测器增益进行自适应使其选取不依赖于系统扰动上界信息。在不同目标机动方式、不同终端落角约束等多种情况下，采用所提出的制导律均可精确命中目标，脱靶量均小于0.2 m，实际终端落角值均可收敛到期望落角值。本文提出的制导律与NTSM、ST-NTSM相比，在有效降低抖振的同时，能够充分利用导弹的过载能力，加快系统状态的收敛速度。

然而，本文仅在平面上进行分析，没有考虑飞行器动力学，这可能会影响模型的准确性。后续研究将会考虑飞行器动力学等环节，使模型更加准确。

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