修正的中间测度和维数

时间：2023-01-25 16:00:06　来源：柠檬阅读网本文已影响人

赖健强 ,宋子婷

（1.广州大学数学与信息科学学院,广东广州 510000；
2.闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州 363000）

Hausdorff[1]维数在分形几何及其他学科，如物理、地理学科中扮演着越来越重要的角色.盒维数是另外一种更容易计算的维数.这些维数可用来刻画物体占据空间的能力，具有广泛的应用.2019年，Falconer等[2]引入了上、下中间维数的概念，它是在Hausdorff 维数和盒维数之间通过限制Hausdorff 维数定义中允许的覆盖来实现的.中间维数介于Hausdorff 维数和盒维数之间,近来取得许多有意思的结果，见文献[3-10].但上、下中间维数没有可数稳定性，大大限制了其应用范围.使用修正的上，下中间（s维）测度来分别诱导修正的上、下中间维数，并讨论了这些测度和维数的一些性质.

设0≤θ≤1,δ＞0，F⊆Rn.若F⊆，对任意i，都有，则称为F的一个(θ,δ)-覆盖.Falconer等[2]引入的上、下中间维数的定义如下：

设F是Rn的有界子集，0≤θ≤1，s为一非负数，对任意δ＞0定义：

集合F的修正的上、下中间测度分别定义为

可以用通常的方法定义修正的上、下中间维数:

定理1是度量外测度.不是度量外测度.

集合在HÖlder映射下像集的修正的上、下中间测度有如下的估计.

命题1令F⊆Rn，f:F→Rm是满足α阶HÖlder条件的映射，则对每一个s有

以下关于修正的上、下中间维数的变换性质，可以从命题2中立即得到.

推论1令F⊆Rn，f:F→Rm是满足α阶HÖlder条件的映射，则对每一个s有

定理2设F是Rn的有界集，0＜θ＜ϕ≤1和t＜，令cn=，则

同样修正的上、下中间维数关于θ∈(0,1]的连续性质，可以从定理2中立即得到.

推论2设F是Rn的有界集，并且令 0＜θ＜ϕ≤1和t＜，则有

定理1的证明因为是由方法I[3]得到，故为外测度.下证为度量外测度.

对F的所有(θ,δ)-覆盖取下确界，得到

因此

综上所述,定理1证毕.

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