对几道经典几何题辅助线生成的新思考
时间：2023-01-20 16:35:08 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
⦿上海市岭南中学 刘华为
不少经典几何题都有较强的生命力，是课堂教学培养学生演绎推理能力的例题常青树，深得广大同仁的偏爱．不过，其中有些题辅助线的生成常常被错误解读成模型化硬性操作，只是让学生生搬硬套，却忽略了从教“怎样想”的角度引导学生学会思考，从而使得教学价值打了折扣．下面笔者随意采撷四例，并从“怎么想到这样做”解读辅助线生成的必然性，以期抛砖引玉．
1.1 辅助线的生成是图形变换吗？
例1在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在边AC，BC上．
求证：AE2+BF2=EF2．
图1
本题是一道经典的几何题，如图1，常规思路强调由D为AB的中点想到把△BDF旋转180°至△ADG的位置，则∠CAG=∠CAB+∠GAD=∠CAB+∠B=90°．连接EG，由“边角边”(DG=DF，∠EDG=∠EDF=90°和DE=DE)易证△EDG≌△EDF，得EG=EF，所以AE2+BF2=AE2+AG2=EG2=EF2．
当然，也有学生从倍长中线角度分析，强调由D为AB的中点想到延长FD至点G，连接AG和EG后仿上也可证得．
显然，上述两种解题思路都是指令性的，即看到中点就应该怎么操作，至于为什么这样添辅助线却没有作深入剖析，不利于学生逻辑推理能力的形成与发展．其实，若借助“知识溯源式目标分析法”，从要证结论入手，不仅能阐明辅助线生成的必然性，还能引导学生学会“怎样想”，进而提升他们分析问题的能力．
所谓“知识溯源式目标分析法”就是由要证结论AE2+BF2=EF2(目标)出发，追溯达成目标的相关知识源．而由目标的结构特征易想到该知识源就是勾股定理，可惜AE，BF和EF不在同一个直角三角形中，需等量转化或重新构造直角三角形．因为AE是所构造的直角三角形的直角边，所以想到过A点作AG⊥AE，且截取AG=BF，则问题转化为证明EG=EF，即证明△EDG≌△EDF．考虑到∠EDF=90°和∠ADE+∠BDF=90°，所以想到证明∠ADG=∠BDF且DG=DF，即△ADG≌△BDF．由∠CAB+∠B=∠CAB+∠GAD=90°，可知∠GAD=∠B，依据“边角边”定理易知△ADG≌△BDF，问题得证．
由此可见，以AE，BF和EF为边构造直角三角形才是图1辅助线自然生成的本源，是通性通法.因为顺延此思路，添出例2的辅助线就顺理成章了．
图2
例2在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD．
求证：AB2+BC2=BD2．
类比例1易想到需构造以AB，BC和BD为边的直角三角形.如图2，过点B作BE⊥AB，且使BE=BC，则问题转化为证明AE=BD，而从两线段的位置特征想到，适合用全等三角形对应边相等来证明．为此需连接AC与CE，易证△ACD与△BCE均为等边三角形，得CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，进而得∠DCB=∠ACE，故△DCB≌△ACE，问题得证．
事实上，对图2辅助线的生成原本都是从旋转角度加以解读，即由等边三角形ACD联想到把△BCD绕点C按顺时针方向旋转60°得△ACE，然后再证明△ABE为直角三角形．当然此辅助线的作法也有一定的合理性，意在通过等量变换把三条线段转化到同一三角形中，不过是一种试探性操作，难免有记忆性的模式化操作之嫌，没有从辅助线生成本源上引导学生学会“怎样想”，对思维能力的形成与发展意义不大．
总之，根据倍长(构造中心对称图形)和旋转添加辅助线只是手段，是技巧，而构造直角三角形才是终极目标，是通性通法．
1.2 辅助线的生成是拼图吗？
图3
类似地，关于三角形中位线定理证明的辅助线生成，一般都是通过沿三角形中位线把原三角形剪开再拼成平行四边形，从而启发学生添出如图3所示的辅助线．显然这种铺垫式添加辅助线的处理方式有牵着学生走之嫌(但也符合学生的认知基础和认知规律)，而借助“知识溯源式目标分析法”分析，不仅可挖掘辅助线生成的本源，还能引导学生学会“怎样想”，从而完善思维方式．
若从证明目标DE∥BC出发，追溯之前学过的与证明两线平行有关的知识源主要有“平行线的判定定理”“平行于同一条直线的两条直线平行(传递性)”“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行” 和“平行四边形对边平行”.虽然从图形特征易想到运用知识源“同位角相等(或同旁内角互补)两直线平行”的判定定理，可惜要证明∠ADE=∠ABC需用到还未学习的定理“相似三角形对应角相等”，且又缺少第三条平行线与垂线，所以只好选择知识源“平行四边形对边平行”加以证明，即过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F(证明略)．
由此可见，构造平行四边形才是证明三角形中位线定理辅助线生成的本源，是通性通法，而拼图只是手段．
1.3 辅助线的生成是作高吗？
图4
例3如图4，在锐角三角形ABC中，BE，CF是边AC，AB上的高，在射线BE，CF上，分别截取BQ=AC，CP=BA．再过点P，Q分别作PM⊥BC，QN⊥BC，垂足分别为M，N．
求证：PM+QN=BC．
图5
本题的辅助线是过点A作AG⊥BC，垂足为G，如图5，然后分别证明△ABG≌△CPM，△ACG≌△BQN，得BG=PM，CG=QN．至于怎么想到这样作辅助线的，一般解读为由高BE与CF想到作△ABC的第三条高AG(或由垂直比较多的情况下想到作垂线)．这种解释难免牵强，若从要证目标着手分析，则由三条线段间的数量关系想到通性通法——“截长”与“补短”．
若采用“截长”，不妨在边BC上截取BG=PM，则问题转化为证明CG=QN.而由这两条线段的位置关系易联想到连接AG，利用全等三角形对应边相等加以证明．显然△BQN与△ACG已经满足BQ=AC和∠Q=∠ACG(∠Q+∠QBN=90°和∠ACG+∠CBE=90°)，还需证明另一对对应角相等．注意到∠QNB=90°，所以需证明∠AGC=∠AGB=90°，即证明△ABG≌△CPM．由∠PCM+∠CPM=90°和∠CBF+∠PCM=90°，得∠CPM=∠ABG，由“边角边”定理易证两三角形全等，问题迎刃而解．
图6
若考虑“补短”，不妨延长QN至点H，使QH=CB(如图6)，连接BH，则问题转化为证明HN=PM．由辅助线的添法和前文作高AG的证法，易证明△BQH≌△ACB(SAS)，得BH=AB=CP，∠H=∠ABC=∠CPM.根据“角角边”可证△BNH≌△CMP，则PM=HN，问题又迎刃而解．
由此可见，作高只是辅助线生成的表象，“截长补短”才是处理三条线段间数量关系类问题之本，是通性通法．当然，对于辅助线生成后究竟如何表述则不拘一格，化繁求简(如图5就可表述成“作BC边上的高”，以求简化证明过程)．由此出发，添出例4的辅助线也就是手到擒来之举了．
图7
图8
显然BE是三条线段中最长的线段，从补短角度入手，延长DF至点G，使DG=BE(如图8),则问题转化为证明GF=EF.连接AG，即证明△AGF≌△AEF．根据同角的补角相等，可得∠B=∠ADG.由“边角边”定理得△ABE≌△ADG，所以AE=AG且∠BAE=∠DAG，则∠EAG=∠BAD，进而得∠EAF=∠GAF，再依据“边角边”定理可证△AGF≌△AEF，结论得证．当然也可在BE上截取BM=DF(截长)，连接AM，通过证明△AEM≌△AEF而得结论正确(图略)．
另外，不少同仁把例4归纳为半角模型，强调旋转的模式化操作(即把△ABE绕点A旋转至△ADG的位置)，这显然有未能透过现象看清本质之嫌．
2.1 解题研究要着力于通性通法
毋庸讳言，模型化操作虽然给学生解题提供了可套用的模型，在一定程度上提升了解题速度，但这毕竟是技巧性操作，不仅应用范围有一定的局限性，而且只是教“怎样做”，学生并没有学会“怎样想”，没有真正形成分析能力，一旦遇到无模可套的问题便又陷入束手无策的窘境．相反，加强解题通性通法生成过程的研究却能从根本上丰富学生解题的思维方式，打通分析问题的思维通道，发展调控受阻思维的能力，从而学会分析．当然研究通性通法一定要坚持从目标入手分析(如例1、例2中两条线段的平方和等于第三条线段的平方)，挖掘解题思路生成的知识源，探求处理问题的基本策略(如例1、例2以目标中的三条线段为边构造直角三角形)，优化调控策略(如对于例3图5中的补短法，辅助线若表述成“延长QN至点H且使NH=PM”，则给证明制造了不小的障碍；
但描述为“延长QN至点H且使QH=BC”，则解题思路豁然开朗)．
2.2 解题研究要追求“以题会类”
众所周知，“以题会类”是习题教学的最高境界.但要真正实现“以题会类”，除了加强通性通法的研究外，还可开展基于知识源配套习题专题整理活动，以提升学生同类题型的系统梳理能力，明确解题的思考方向和思路生成的本源，全面掌握处理同类问题的基本策略，切实提升分析问题的能力．如，在中考复习时可就“线段中点定义”“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”“三角形的中位线等于第三边的一半”“三角形的重心分中线之比为1∶2”和“直接求两线段长计算证明”等“线段二倍关系”的知识源，配备相应例题(限于篇幅，例题从略，感兴趣的读者不妨参阅文献[1])，提升学生处理同类问题的能力，追求“以题会类”的习题教学最高境界．
总之，习题教学是数学课堂教学巩固知识和提升能力的重要环节，而借助“知识溯源式目标分析法”，从“教怎样想”入手，挖掘解题的通性通法，或许是提升学生分析问题能力的有效举措.当然，如何加强习题教学研究是个“仁者见仁智者见智”的永恒课题，单就“如何研究”和“研究什么”就值得广大同仁深入探讨．
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