基于小波变换的数字图像去噪算法
时间：2023-01-19 20:00:17 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
汪太月，戴燕青
(1.湖北工业大学 理学院，湖北 武汉 430068；
2.湖北理工学院 数理学院，湖北 黄石 435003)
数字图像在数字化和传输过程中常易受到成像设备与外部环境的干扰而被噪声污染，导致图像质量下降、信息失真，从而影响视觉效果，给图像特征信息提取等操作增加了不少干扰风险[1]。
图像去噪属于图像恢复的范畴，主要通过算法提高图像的质量，解决噪声对图像的污染，是图像压缩、切割、特征提取和识别的基础[2]。传统去噪方法中的均值滤波器和中值滤波器对特定分布的噪声有较好的去噪效果，但仅考虑了邻域内像素点的灰度值排序信息，忽略了像素点的位置即时序信息，存在模糊边缘忽略细节等缺点[3]。当图像信号与噪声在高频区域重叠时，以傅里叶变换为基础的频域去噪算法，存在去除图像噪声与保留图像信息的矛盾[4]。小波变换是基于短时傅里叶变换局部化思想发展起来的一种新的变换分析方法，具有多尺度的特性，可以将图像信号分解为多个层次，进而逐步细化，能很好地刻画信号的奇异性。因此，本文从空间域和频域滤波去噪出发，探究基于小波变换的模极大值去噪及不同阈值去噪算法，并对不同去噪算法进行比较，找出不同算法在图像去噪上的优势与不足，以期为图像去噪提供一些新思路。
根据图像特征的统计分布以及图像中噪声概率分布的不同，去噪算法主要分为空间域去噪和频域去噪2类[5]。
1.1 空间域图像去噪
空间域图像去噪算法比较简单，大多是直接对含噪图像像素点的灰度值矩阵进行矩阵变换及数据运算。空间域滤波器分为线性和非线性2类，其中均值滤波属于线性型滤波器，中值滤波属于非线性型滤波器。
均值滤波器是一种线性平滑滤波器，采用一个形状大小可设的小窗在图像上移动，通过窗内的灰度值计算替换各个像素点的灰度值。若该像素点为噪声，则将其平滑为邻域均值，从而达到去噪的目的[6]。由于图像的边缘细节等信息与噪声皆为高频分量，通常这类像素点的灰度值也会发生明显变化，故均值滤波在去噪的同时会因平滑边缘细节等信息而模糊图像。均值滤波器的窗口越大，去噪图像的方差越小，但窗口越大，图像越模糊。1幅含噪图像f(x,y)的大小为N×N，去噪后图像g(x,y)在像素点(x,y)上的灰度值为：
(1)
式(1)中，M为(x,y)邻域像素点总数；
σ为邻域内像素点集合；
x,y=0,1,2,…,N-1。
中值滤波与均值滤波类似，也是通过滤除高频分量实现去噪，是根据某个像素点一定大小邻域内所有像素点灰度值序列的中值来代替其灰度值[7]，即用1个小窗在图像上移动，小窗中心位置的灰度值用窗口内所有像素点灰度值的中值替代。中值滤波前后图像的每个像素点灰度值关系为：
(2)
式(2)中，med为1组数值的中值函数。这组数据按从大到小或从小到大排序，数据量为奇数时，结果为最中间的值；
当数据量为偶数时，结果为最中间2个值的平均值。
2种方法对图像去噪处理的效果都与窗口的大小形状有关，窗口越大，图像越模糊，但窗口过小不利于去噪。因此，本文采用3×3的方形小窗，对加入均值为0、方差为0.02的高斯噪声Lena图像分别采用均值滤波和中值滤波去噪。原始图像和含噪图像如图1所示，2种空间域图像去噪效果如图2所示。
(a) 原始图像 (b) 含噪图像
(a) 均值滤波 (b) 中值滤波
由图2可以看出，均值滤波对统计特性简单的高斯噪声去噪效果好，但不可避免地会模糊图像，在视觉效果上表现为清晰度不够，特别是边缘以及细节处模糊更为严重。中值滤波比均值滤波的去噪效果要差得多，虽然其在一定程度上克服了线性滤波器所带来的图像模糊问题，但对于点、线、尖等细节多的图像处理效果并不理想，且去噪图像仍存在不少白点(即噪声)。因此，2种去噪方法都不能很好地兼顾图像信息。
1.2 频域图像去噪
频域去噪是对含噪图像施以傅里叶变换、余弦变换或小波变换等，将空间域信号变换为频域信号，然后对变换系数做一定的处理，再经反变换，以达到去除噪声的目的。一般图像的噪声处于高频部分，通过低通滤波器滤除高频分量的噪声信息，从而得到去噪后的图像信息。由于图像变换并不能将图像高频信息与噪声带来的高频干扰区分开，故众多基于变换域的去噪方法会丢失图像的特征信息，尤其是对于突变信号多的图像，极易产生振铃现象[8]。
理想低通滤波器是对数字图像进行二维离散傅里叶变换，图像的边缘细节以及噪声位于高频部分，图像缓慢变化背景等位于低频部分，低通滤波器能截断高频分量，从而抑制或消除图像的噪声，平滑图像，变换公式为：
G(u,v)=H(u,v)F(u,v)
(3)
式(3)中，G(u,v)为去噪后图像的傅里叶变换；
H(u,v)为低通滤波器的传递函数；
F(u,v)为去噪前图像的傅里叶变换。
理想低通滤波器在理论上能够完全去除经傅里叶变换后图像中高于截止频率的信号，且使低于截止频率的信号无阻碍地通过，其传递函数为：
(4)
由式(4)可以看出，传递函数在截断频率处发生从1到0的突变，会导致去噪后图像模糊，且有振铃现象。换句话说，把传递函数H(u,v)复制到F(u,v)对应的位置，会使H(u,v)中原来清晰的点被模糊，使复杂的图像产生振铃现象。
巴特沃斯低通滤波器又被称为最大平坦滤波器，其图像信号的频率在截断频域上并没有明显的不连续界限，保留了更多的高频分量，因此可以缓解理想低通滤波器造成的图像边缘模糊。n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为：
(5)
由此可见，随着巴特沃斯滤波器阶数的增长，振铃现象也会增强。在对理想低通滤波器和巴特沃斯低通滤波器进行仿真时，截断频率过大，噪声去除不明显，截断频率过小，噪声去除有效，但会使图像模糊。经过仿真比较，理想低通滤波器的截断频率D0=80，巴特沃斯低通滤波器的截断频率D0=150。2种频域图像去噪效果如图3所示。
(a) 理想低通滤波器 (b) 巴特沃斯低通滤波器
小波变换是基于短时傅里叶变换的局部化思想发展起来的多尺度分析方法，同时具有时间-频域分析的特点，是图像处理的显微镜，其多分辨率的特性可将图像信息一层层分解剥离，对信号具有自适应性，变换公式为：
(6)
式(6)中，f(t)为原始信号；
Ψ(x)为小波变换核函数；
α和τ分别为尺度因子与时空位置信息的平移因子，分别控制小波函数的伸缩与平移，能更有针对性地进行图像去噪。
傅里叶变换的核函数是固定不变的虚指数函数，而小波变换的核函数可为任意的小波函数，体现了小波变换图像去噪的灵活性。小波去噪得到较好的去噪效果的关键在于对小波变换后所产生的小波系数进行处理。因此，本文基于小波变换模极大值去噪以及多种阈值去噪等算法进行探究。
2.1 小波模极大值去噪
含噪图像经小波变换后，所产生的图像信息和噪声对应的小波系数的模极大值在不同尺度上呈现不同的变化趋势。小波模极大值去噪算法的基本步骤如下：①采用haar小波基将图像进行多尺度的小波分解，得到一系列在不同尺度上的高频、低频分量的小波系数；
②求出各分解尺度上小波系数对应的模极大值点；
③在最大分解尺度J上选取一个合适的阈值，若小波系数中的模极大值点所对应的幅值的绝对值高于阈值，则将其作为图像信号被保留；
若低于阈值，则将其作为噪声信号去除；
④在分解尺度J-1(J=J，J-1,…,2,1)上，找到尺度为J上小波系数的模极大值点对应的传播点，去除由噪声引起的模极大值点，逐级搜索，直到J=2为止；
⑤对于分解尺度J=1，在尺度J=2的模极大值点的位置上保留极值，其他位置的模极值点改为0；
⑥根据各尺度保留的模极大值及其位置，对信号进行重构，得到去噪后的图像。小波变换模极大值去噪效果如图4所示。
图4 小波变换模极大值去噪效果
2.2 小波阈值去噪算法
小波变换具有多分辨率的特点，能由粗到细地逐步观察信号，具有很好的时频窗口特性，因而基于小波变换的阈值去噪具有很大的优势。其实现过程为：首先，选取合适的小波基和分解层数J对含噪图像进行小波分解，得到相应的小波分解系数；
然后，对于分解尺度J(1,2,…，J-1,J)，选取一个合适的阈值或阈值函数对高频系数进行阈值量化，得到估计小波系数；
最后，根据小波分解的第J层低频系数以及各层阈值量化后的高频系数进行重构，得到去噪后的图像。
不同的阈值或阈值函数代表着对含噪图像不同的处理策略。阈值的选取直接影响去噪效果，若阈值太小，则易将噪声保留下来；
反之，则会将图像的重要特征信息过滤掉。选取2种不同类型的阈值分别运用软、硬阈值函数去噪，比较在不同阈值下的图像去噪效果。
Donoho小波阈值方法采用的是全局统一阈值，即在小波分解的各层采用相同的阈值[9]，公式为：
(7)
式(7)中，σ为噪声的标准方差；
N为图像长度。
阈值在各层上都相同的特性会使原始小波系数产生过扼杀现象，即在去除噪声产生小波系数的同时会去除图像信息。Birge-Massart策略是根据局部区域的特性，判断区域内小波系数是由噪声产生的还是由图像信息产生的，并以此来确定阈值[10]。阈值通过以下规则给出：假定一个图像小波分解层数为j，保留j层以上所有的高层系数，对于第i层(l≤i≤j)保留绝对值最大的ni个系数，其中ni=M(j+2-i)α，M和α为经验系数，起到调节选取系数个数的作用，取α=3，而M以ni不超过本层系数的一半为宜。
2.2.1软、硬阈值去噪
硬阈值函数定义为：
(8)
软阈值函数定义为：
(9)
由公式(8)可知，图像经小波变换后产生的小波分解系数的绝对值大于或等于阈值时，系数保持不变，若小于阈值则置为0。图像经硬阈值函数处理后明显不是连续的，局部抖动现象严重。由公式(9)可知，若小波系数的绝对值不小于阈值，则将大于阈值的小波系数收缩为原始小波系数的绝对值与阈值的差值，小于阈值相反数的小波系数收缩为原始小波系数的绝对值与阈值之和；
若小波系数的绝对值小于阈值，则将小波系数置为0。软阈值函数克服了硬阈值不连续的缺点，但是软阈值函数的导函数不连续，会影响去噪后重构图像与真实图像的逼近程度。
软、硬Donoho全局阈值去噪效果如图5所示，软、硬Birge-Massart局部阈值去噪效果如图6所示。由图5可知，Donoho全局阈值上软、硬阈值去噪法均能取得不错的效果，但因白噪声具有负的奇异性，其幅值和稠密度随分解尺度增加而减少，图像信号随尺度增加而增加。因此，在每级尺度上都采用同一阈值显然不合适。而Birge-Massart值是一种局部自适应阈值，可以根据当前小波系数相邻的局部信息来确定阈值。
(a) 软阈值去噪 (b) 硬阈值去噪
(a) 软阈值去噪 (b) 硬阈值去噪
2.2.2半软阈值去噪
在软阈值去噪中，由软阈值函数生成的估计小波系数与小波系数之间的恒定偏差会直接影响重构图像与原始图像之间的逼近程度，去噪结果相对平滑，易造成图像失真。在硬阈值去噪中，硬阈值函数将选取阈值作为图像和噪声的分界线，小于阈值的小波分解系数置0，大于阈值的小波系数直接保留，即保留图像的大部分细节，图像的峰值信噪比较高，给图像的处理带来了很大的便利，但实际上大于阈值的小波系数中也存在噪声所对应的小波系数，加上小波系数在阈值处缺乏连续性易使小波系数产生附加振荡，进而导致重构图像出现Pseudo-Gibbs等视觉失真[11]。在兼顾两者的基础上建立半软阈值去噪，其函数为：
(10)
式(10)中，λ1和λ2为选取的双阈值。
半软阈值函数可以看作是软、硬阈值函数的改进，当λ1=λ2时，半软阈值函数将退化为硬阈值函数；
当λ2→∞，则退化为软阈值函数。本文中半软阈值函数采用全局通用阈值，且λ1=0.5λ2。
半软阈值函数克服了硬阈值函数不连续使估计小波系数发生振荡跳跃的缺点，又改进了软阈值函数中去噪过度平滑的问题，能够在去除噪声提高峰值信噪比的同时使图像不像软阈值去噪平滑模糊。半软阈值去噪效果如图7所示。
图7 半软阈值去噪效果
为了评价算法的去噪效果，采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)作为图像评价指标，它是基于相似图像所对应的像素点间的误差的图像质量评价[12]，公式为：
(11)
均方误差(Mean Square Error,MSE)估计是原始图像与处理图像之间的相差程度[12]。均方误差值越大，说明真实图像与去噪图像差别越大，去噪效果也就越差；
均方误差值越小，说明真实图像与去噪图像差别越小，去噪效果也就越理想。均方误差估计定义为：
(12)
式(12)中，A(i,j)，B(i,j)分别为图像A，B像素点的灰度值。
去噪图像的峰值信噪比及均方误差见表1。从表1可以看出，小波变换去噪的整体效果优于传统滤波器，其中半软阈值去噪在消除噪声上的表现最好，其次是均值滤波。但图像经过均值滤波易因损失细节而模糊，且在不同噪声的图像上局限较大。理想低通滤波器在去除噪声的同时也模糊了边缘细节，会出现较严重的振铃现象。巴特沃斯低通滤波器虽然缓解了理想低通滤波器的模糊缺陷，但也存在振铃现象。中值滤波的去噪效果明显差于其他的去噪方法。
表1 去噪图像的峰值信噪比及均方误差
在小波去噪算法中，小波模极大值去噪虽然去噪效果不错，但计算量大，而小波阈值图像去噪效果较为理想。3种阈值函数所对应的去噪方法中，半软阈值去噪不但改进了软阈值去噪中图像失真过于平滑的问题，也没有硬阈值去噪因像素点不连续而导致的图像震荡的缺点，峰值信噪比最大，均方误差值最小，去噪效果最好。2种不同阈值在软、硬阈值去噪的应用之中，采用Birge-Massart策略阈值的硬阈值去噪比采用全局阈值的硬阈值去噪效果好，但是效果不是很明显，主要因为硬阈值函数在小波域上连续性不好，在重建小波系数时易产生震荡等附加效应，从而使得峰值信噪比降低，造成视觉失真。采用Birge-Massart策略阈值的软阈值去噪效果要优于采用全局阈值的软阈值去噪，但因软阈值函数在小波域上导函数的不连续，仍避免不了图像平滑的问题。相比不同阈值算法，软阈值图像去噪的效果都要优于硬阈值去噪。总体而言，半软阈值算法继承了软、硬阈值算法的优点，同时也克服了各自的缺点，去噪效果居于首位。
对噪声污染的图像进行了不同算法的仿真去噪实验，得到了视觉及定量量化的结果。基于小波变换的不同阈值以及阈值函数的去噪算法可根据不同的噪声分布选择合适的小波基和分解层数，能在兼顾去噪效果的同时保留图像细节信息，体现了去噪的灵活性。同时，在研究软、硬阈值算法的基础上通过半软阈值算法进一步改善了去噪效果。
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