高一学生数学眼光测试研究
时间：2023-01-17 13:25:13 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
胡晋宾， 赵 月， 刘洪璐
(1.江苏第二师范学院数学系， 江苏 南京 210013；
2.昆山市石牌中学， 江苏 昆山 215312；
3.南京师范大学附中， 江苏 南京 210003)
《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称《标准(2017)》)在课程性质中，提出了“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”[1]的课改理念。自此“三会”被高度关注，通常简记为数学眼光(即“数学的眼光”)、数学思维和数学语言，含义分别等价于数学观察、数学思考和数学表达。《义务教育数学课程标准(2022年版)》(简称《标准(2022)》)承接并发展了相关思想，明确提出了“数学课程要培养的学生核心素养”，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界[2]。“三会”被写进《标准(2022)》课程目标，作为重要理念统领数学核心素养培养。相对于数学思维和数学语言来说，数学眼光一词大家比较陌生。数学眼光理论内涵是什么，学生数学眼光水平如何、原因何在，应该怎样去培养数学眼光，是当下亟待研究的课题。以下结合高一学生数学眼光问卷测试，对上述问题进行相关探讨。
《标准(2022)》指出：“数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式。通过数学眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题；
能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构；
能够理解自然现象背后的数学原理，感悟数学的审美价值；
形成对数学的好奇心与想象力，主动参与数学探究活动，发展创新意识。”[3]为了方便理解，我们给出数学眼光的如下操作定义：“数学眼光主要指在现实与数学之间进行的思维切换，也即：立足知识储备，关涉活动经验，借助数学抽象和直观想象，从现实案例‘看到’数学内涵，从数学内涵‘想到’现实案例。”[4]数学眼光是双向的，既有看到现实案例想到数学内涵的一个侧面，也有看到数学内涵想到现实案例的一个侧面。图1给出了数学“三会”与数学特点、三个基本思想的大致对应关系。从根本上来说，无论是数学眼光(数学观察)、数学思维(数学思考)还是数学语言(数学表达)，背后内核都是“数学地思考”的能力。只不过差异在于，如果把数学整个活动看作是从现实世界提升到数学世界、在数学世界内部推进、从数学世界回馈到现实世界这样三个发展样态的话，那么数学眼光对准的是第一个阶段，即从现实世界到数学世界这一跨越中。数学眼光是“三会”之一，不涉及后面数学思维和数学语言两个阶段。数学“三会”和数学关键能力、“四基”“四能”都有对应关系，其中数学眼光在高中阶段主要对应的核心素养(关键能力)是数学抽象和直观想象[5]。
图1 “三会”、基本思想与数学特点对应关系
(一)模型建构
基于数学眼光内涵，研究从现实、数学、素养这三个维度建立测评框架(如图2所示)。第一，现实维度，按照弗赖登塔尔的“现实数学”理论，“现实性(reality)”是指真实世界(real-world)和数学世界(math-world)的总和，不能望文生义地理解为真实世界、现实世界[6]。结合国际PISA测试等研究，划分为生活情境、数学情境、科学情境三种类别，每种情境参考《课标(2017)》划分为熟悉的、关联的和综合的三个水平。第二，数学维度，根据课标理念，划分为数与代数、图形与几何、统计与概率三种类别。第三，素养维度(关键能力)，对准数学抽象和直观想象两种类别，参照《课标(2017)》划分为三个水平。
图2 数学眼光的测评框架
(二)试题编制
考虑到数学眼光的双向性质，即一方面能够从现实案例“看到”数学内涵(正向)，另一方面能够由数学内涵“想到”现实案例(反向)，因此测试题可以分别从现实到数学、数学到现实这两个角度来编制。测试卷共计30道试题，涉及正向有21道试题，涉及反向有9道试题。在现实维度中，生活情境、数学情境、科学情境试题数分别为13，10，7；
在数学维度中，数与代数、图形与几何、统计与概率试题数分别是14，12，4；
在素养维度方面，预设水平 1、水平 2、水平 3 试题数分别为9，13，8。
(三)信度效度
在文献研究基础上，根据数学眼光内涵，从现实、素养、数学维度建立框架，并在多位同行帮助下完成初稿，之后邀请数名一线特级教师以及研究专家审阅。选取30名高一学生进行试测，回收有效问卷28份。之后根据测试答卷拟定评分标准进行数据分析，克朗巴赫Alpha系数为0.701。利用SPSS软件进行因子分析，KMO值为0.732，巴特利特球形检验统计量为χ2=345.53，P=0.000(<0.01)。事后深入反思并据作答情况对测试卷做了修改完善，特别是明确要求测试时详细写下理由。
(一)测试组织
正式测试选取江苏省两所四星级学校高一学生210名，其中甲校男生60名、女生45名，乙校男生58名、女生47名。(两校各1个重点班、1个普通班)。测试时间45分钟。共收回问卷190份，其中169份有效。进行审阅和编码后，导入EXCEL和SPSS中进行数据分析。
(二)评分示例
鉴于部分试题会出现空白以及出现一些与题目无关的答案，因此在素养水平的基础上增加零级水平，并参照数学核心素养水平划分，由低到高赋值为0，1，3，5分，测试卷满分为150分。具体评分示例如下。
试题：(1)拉面师傅拉面时将1根粗面团一分为二，再由2根到4根、到8根，……由此联想到的数学知识是什么？为什么？(2)你还能举出相似的例子吗？越多越好。
分析：本题考查从现实案例中抽象出数学知识的能力，属于数与代数领域，要求发现数字变化规律，同时将之总结为底数为2的幂指数，并且联想到生活中含有数字翻倍增长特点的案例。评分如表1。
表1 评分标准举例
(三)描述统计
测试描述性统计数据，如表2所示。数学眼光最小值为42分，最大值为106分，分数差距较大，没有学生获得满分，平均分为65.25。同时，标准差13.442，波动较大，意味着测试样本数学眼光差异较大。偏度为0.608，大于0，呈正偏态，说明数据的分布具有较长的右尾，高于均值的数据居多。峰度为0.276，大于0，说明分布呈高狭峰，在平均值左右的数据频数较大。大体上看，水平1和水平2的试题得分率大部分在50%左右，但是水平3的试题得分率明显低于其他2个水平，最高得分率为41.8%，最低得分率仅为20.2%。由此说明高一学生数学眼光处于中低等水平，层次高的学生较少。数学眼光水平处于水平2的学生人数最多，占总人数的46.7%；
水平1的学生占比为24.5%，人数较多；
居于水平3的学生较少，仅占22.3%；
还有6.5%的高一学生，数学眼光处于零水平(0分)。
表2 数学眼光描述统计
(四)性别差异
首先按照性别进行统计(表格从略)，表明男生测试卷总分略高于女生。其次分析学生在每道测试题的得分情况，发现女生在水平1的测试题平均分高于男生得分，但男生在水平3试题得分高于女生，其他2个水平试题得分情况不相上下，再次验证男生数学眼光水平略高于女生，同时发现男生与女生数学眼光水平差异主要体现在水平1和水平3上。再次对测试卷总分进行分析，发现“方差方程的Levene检验”中Sig的值大于0.05，所以方差相等，再看“均值方程的t检验”中Sig的值，小于0.05。因此男生与女生数学眼光有显著差异，并且男生数学眼光水平略高于女生。
(五)班型差异
对不同班型做统计分析发现(表格从略)，实验班学生中处于水平0、水平1和水平2的人数占比都小于普通班，但实验班达到水平3的人数占总人数的25.3%，而普通班达到水平3的人数占总人数的19.9%。进一步对不同班型学生的各个测试题得分及总分间的差异进行独立样本t检验，从各个测试题得分来看，除了第17题以外，实验班学生在其他各题平均分均高于普通班；
再从测试卷的总分来看，实验班学生的平均分高于普通班学生。因此，总体上高一实验班学生数学眼光比普通班学生强。再从测试卷的总分来说，“方差方程的Levene检验”中Sig的值大于0.05，表明方差相等，再看“均值方程的t检验”中Sig的值，小于0.05。因此，实验班与普通班学生的数学眼光存在显著差异，并且实验班学生数学眼光水平高于普通班学生。
(六)知识差异
学生数学眼光按照数学知识维度进行统计，如表3所示。可以发现图形与几何知识得分最高，每道题均分为2.3948。这表明高一学生在图形与几何的知识方面，有着较好的数学眼光。同时，观察3个维度得分的标准差，发现图形与几何的标准差低于其他2个维度，意味着在这一维度得分比较稳定，水平差距不大。
表3 不同数学知识描述统计
为了进一步了解不同性别和班型学生是否在3个知识领域存在数学眼光差异，根据数学眼光得分将每位按照性别进行班型差异做分析，结果如表4和表5所示。从中可以看出，男生平均分始终高于女生，实验班学生平均分也高于普通班学生。由表4发现，男生与女生在各个内容维度得分均不存在显著差异。由表5发现，实验班与普通班学生在3个知识领域得分存在显著差异。综上可知，在3个数学知识领域维度，男生比女生具有较好的数学眼光，但差异不明显；
实验班学生数学眼光高于普通班学生，且存在显著差异。
表4 不同性别学生在知识维度水平差异
表5 不同班型学生在知识维度水平差异
(七)学业相关
为了解高一学生数学眼光与数学成绩之间关系，根据数学眼光得分和上学期数学学业成绩，采用Pearson相关分析方法，得到如表6所示结果。可以发现：高一学生数学眼光与数学学业成绩的相关系数为0.504，且显著性0.000<0.05，属于较显著正相关。通过各个水平上数学眼光相关性分析可知，数学眼光越强，数学学业成绩越好。
表6 数学眼光与数学学业成绩相关分析
(一)数学抽象概括能力不强
在面对具体情境时，许多学生无法舍弃和数学无关的非本质属性，抽象出数学概念及相应知识，因此导致得分偏低。测试第28题如下：(1)某科技小组去户外探险，通过危险的湿地时人有可能陷进去爬不出来，他们急中生智想到了利用铺垫木板的方式获得通过，利用什么数学知识可以解释这种做法的原因？理由是什么？(2)这种数学知识还能解释哪些现象？理由是什么？回答正确的学生都能从压强的公式抽象出反比例函数，水平不高的学生答案往往是压强与面积有关，但具体的数学函数关系却概括不出来。导致学生概括能力不足的原因很大程度上在于，数学教学中现实情境和数学知识切换不自然，数学知识本质揭示不充分。很多学生发散思维不佳，因此测试中未见该题以下数学眼光回答案例：旋转台灯的亮度调节，收音机的音量改变，电压一定时电流和电阻关系，距离一定时平均速度和时间关系，钓鱼时怎样握杆省力气(杠杆原理)，滑雪时为啥要用滑雪板，物理学中的波义尔马略特定理，磨刀锋利后切割更加省力(磨刀不误砍柴工)背后的数学内核，等等。
(二)数学直观想象水平偏弱
通过对错误答案分析发现，学生能够利用已有经验，从新问题中抽象出一些熟悉的数学知识，但是部分学生遇到陌生的或改编的试题，无法想到与正确答案有关的知识点。从图形与几何维度的试题作答情况分析，发现很多学生的直观想象水平不高，从而导致失分严重。这有可能和日常教学中，过于重视逻辑推理和计算，忽视形象思维和想象有关。测试第8题如下：(1)因为三角形具有稳定性，所以这种属性被广泛地应用到生活中。除了前面所说的晾衣架之外，你能再举出几个三角形稳定性的例子吗？越多越好。(2)理由是什么？很多学生往往只是记住了教材中的案例，但是不能学以致用，不会见异思迁，很难展开想象。实际上，以三角形的稳定性为例，就有自行车撑子停车、空调外机安装固定、摄影器材三角鼎立、太阳能热水器结构性焊接、步兵射击采用跪姿等案例。对比四边形就没有这样的稳定性，因此自动伸缩门一般都是平行四边形结构等。
(三)数学活动经验积累缺少
(一)注重“四基”素养教学
数学“四基”指的是，数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，它们是数学学习和发展的一个整体系统。从广义的教育心理学上来说，上述“四基”都是纯度不同的知识。学生通过数学活动，积累基本活动经验，有的沉淀为基础知识，有的物化为基本技能，有的上升为基本思想。在这个过程中，学生逐渐获得数学核心素养。其中，数学眼光在高中阶段主要对应数学抽象和直观想象。测试表明，数学知识与数学眼光高度相关。数学“三会”包括数学眼光，都是建基在数学“四基”和素养的基础上的。因此要把数学“四基”和核心素养教学，落实到日常教学之中去。只有这样，数学“三会”才能落地生根。
(二)强调应用创新意识
数学学习无疑应该强调学以致用，在继承基础上才能不断推陈出新。数学“三会”中明确指出，数学眼光要“观察现实世界”。结合前面理论框架，这种“现实”实际上对应数学应用，划分为生活、数学和科学应用等，应该和数学进行双向性互动切换。这种强调现实的理念既能激发学生学习兴趣，也能沟通生活数学、学校数学和纯粹数学之间的关联。天长日久的浸润，日积月累的熏陶，学生逐渐养成带着数学眼光观察现实世界的习惯，从而不断形成伴随终生的数学应用和创新意识。
(三)倡导多种思维互补
众所周知“数学是思维的科学”，一般说来数学思维主要有逻辑思维、形象思维和直觉思维之分。既往数学学习和研究中，以演绎推理为主的逻辑思维占据主导地位。数学逻辑思维循规蹈矩，形象直觉思维创意无限。在数学学习和发明创造过程中，数学形象和直觉思维无处不在。数学眼光强调的是学科味道的数学观察，它是看到现实想到数学后“一触即发”的专业敏感，或者是看到数学想到现实后“条件反射”的学科本领。在这数学眼光的发生过程中，表现更多的是数学形象思维和直觉思维，因此它们对于数学眼光的培养至关重要。在日常教学中应该兼顾不同思维形式，强调数学思维品质培育。▲
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