[探索“孙子问题”的几种解法]孙子问题的解法

时间：2019-05-25 03:24:40　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　我国古代著名的数学书《孙子算经》中有这样一道名题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何？”此乃就是著名的“孙子问题”，俗称“韩信点兵”。关于它的解法就是享誉国内外的“孙子定律”或“孙子定理”。外国人称之为“中国剩余定理”。
　　在2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛四、五、六年级培训题中都出现了这一类型的题，四年级（41）题，五年级（43）题，六年级（10）题。四、五、六年级学生年龄相差、掌握的知识相差很多，思维差异很大，用什么方法解答这一类型的题呢？现笔者根据自己所知的一些知识，向不同年级的学生提供几种前人解决“孙子问题”的不同解法，供大家选用。
　　1.歌谣解题由于“孙子问题”是一道非常著名的题目，它在我国早已被广大群众所喜爱。甚至一些不识字的爷爷奶奶也会当做故事，闲暇时讲给儿孙听。他们的解法就是明代程大位的《算法统宗》一书里的一首歌谣所表达的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团员正半月，除百零五便得知。
　　把这首歌谣通俗地翻译出来就是：用3数的剩余数乘70，用5数的剩余数乘21，用7数的剩余数乘15，把所得的各个结果相加后，再减去105的倍数，所得的结果就是所求的，即
　　2×70+3×21+2×15=233
　　233-105-105=23
　　知道这个故事和利用这个歌谣解“孙子问题”的学生，四年级培训题第41题“求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小的三位数是。”就可以用歌谣的解法求出。即
　　2×70+3×21+5×15=278
　　278-105=173
　　173是三位数，如果再减105，差就是68，68是两位数，不符合条件，符合条件最小的三位数是173。
　　用歌谣解题，受条件限制，也就是除数必须是3、5、7时，才能这样做，如果除数不是3、5、7，或者学生根本不知道“孙子问题”的，那将怎样解。
　　2.用“枚举法”解“孙子问题”枚举法又叫穷举法、列举法或反证法。
　　它的具体做法是，如果结论的反面不只一种情况时，就需要将结论的反面列举穷尽，然后一个一个地否定它们，从而得出结论成立。
　　例：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是多少？
　　解：列举出除以3余2的数，2、5、8、11、14、17、20、23、26……；
　　再列举出除以5余3的数，3、8、13、18、23、28……；
　　再列举出除以7余2的数，2、9、16、23、30……。
　　从上面列数可知，第一个公有的数是23，所以适合这些条件最小的数是23。
　　用枚举法解孙子问题，既简便又易掌握但它对太复杂的题适合且解题速度较慢。为了快速正确的解答孙子问题，还是采用“孙子定理”去解题。
　　3.用“孙子定理”解题例：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。问这个数最小是多少？
　　它的解题思路是：
　　3.1 除以3余2的数要在5和7的公倍数数中去找。
　　5和7的最小公倍数是35.
　　35÷3=11……2
　　这35符合除以3余2的条件。
　　3.2 除以5余3的数要在3和7的公倍数中去找，3和7的最小公倍数是21。但
　　21÷5=4……1
　　条件要求是除以5余3，如果是21，余数只能是1，要满足余数是3的条件，就必须使被除数、除数、商、余数同时扩大3倍。
　　21×3=63 则63÷5=12……3
　　这63符合除以5余3的条件。
　　3.3 除以7余2的数，要在3和5的公倍数中去找。3和5的最小公倍数是15，条件要求除以7余2，如果是15，余数只能是1，要满足余数是2的条件，被除数、除数、商、余数，必须扩大2倍。
　　15×2=30 30÷7=4……2
　　这30符合除以7余2的条件。
　　3.4 把1、2、3式的被除数和起来， 35+63+30=128
　　这加得的结果（128）符合题目中所提的全部条件。因为35加上的都是3的倍数，所以它们的和128，除以3的余数，不会改变；对63来讲，它所加上的数都是5的倍数。因此，它们的和除以5的余数，也不会改变；对30来讲，它所加上的都是7的倍数，因此，它们的和除以7的余数，也不会改变。
　　由于3、5、7的最小公倍数是105，题目中要求的是满足条件的最小的数，因此128-105=23，这所得的差，除以3、5、7的余数也没变，所以23符合题目中所有条件的最小的一个数。
　　这就是著名的“孙子定理”，世界称之为“中国剩余定理”。
　　4.“孙子问题”的新解法作为对“孙子问题”的探索，我们再向同学们介绍一种湖北王昌元老师的“变更被除数法”。
　　先约定：将“N”分别除以n1,n2…nk所得的余数依次为r1、r2…rk。简记为“N÷｛n1,n2…,nk｝余｛r1,r2…,rk｝。
　　例：有一篮鸡蛋五五数之余二，六六数之余一，七七数之余四，问这篮鸡蛋有多少个？（已知篮子最多能装100个鸡蛋）
　　解：设这篮鸡蛋有N个，则该问题可表为
　　N÷｛5、6、7、｝余｛2、1、4｝ ①
　　显然将被除数N减去1，可得
　　( N-1）÷｛5、6、7、｝余｛1、0、3｝ ②
　　观察②式易知，为使该式中的第一余数“1”演变为0，且同时保证第二余数“0”不变，可以将被除数（N-1）加上既是6的倍数，又能在加1之后可被5整除这样的数，不难发现，在6的倍数中，加上1即能被5整除的诸数可表为24+30m（m为非负整数）。今取其最小者24，则有
　　（N-1）+24〕÷｛5、6、7、｝余｛0、0、6、｝ ③
　　③式表明〔（N-1）+24〕是5和6的公倍数，且被7除余6，用7分别去除5和6的公倍数30、60、…30p(p为自然数)余数为6的诸数即取之，易得，所取之数为90+210k（k为自然数）。
　　因此〔（N-1）+24〕=90+210k。由此得N=67+210K，令K=0，即得本题之答案，N=67，也就是说，这篮鸡蛋共有67个。
　　我们看到，本题是通过将①式中的被除数N施行两次变更（先减去1，再加上24），而使①式化为只含一个非零余数的③式，而后在③式的基础上获解的。由于如此重要的③式是通过变更被除数而得到的，故称以上解法为“变更被除数法”。
　　解一道题，用什么方法，取决于解题者用什么方法最得心应手。只要能正确、快速做出此题，就是你最好的解题方法。

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