等腰三角形方程思想【例谈“等腰三角形”问题中建立方程的几条途径】
时间：2019-04-09 03:27:40 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
在“等腰三角形”问题中一般都要建立方程来解决问题.下面举例说明建立方程的几条途径： 途径一：直接利用两腰相等建立方程 图1例1 如图1，已知抛物线y=ax2+4a+34x+3与x轴的负半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，当△ABC是等腰三角形时，求抛物线的解析式．
解 由题意得：A（-34a，0），B（-4，0），C（0，3）．
因为△ABC是等腰三角形，所以分三种情况讨论：
①当CA=CB时，不存在．
②当AB=AC时，抛物线的解析式为：y=67x2+11728x+3．
③当BA=BC时，得-4+34a=5，解得a=112．
所以抛物线的解析式为：y=112x2+1312x+3．
所以当△ABC是等腰三角形时，抛物线的解析式为y=112x2+1312x+3或y=67x2+11728x+3 ．
评注 因为在Rt△BCO中，根据勾股定理可求出“斜向”线段BC的长，而线段BA又可用字母a的代数式表示，所以可以由“等腰”即BA=BC直接建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出抛物线的解析式．
途径二：利用“等边对等角”和“等角对等边”建立方
程
图2例2 如图2，已知点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）△COD是等边三角形吗？为什么？
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？简述你的理由．
解 （1）△COD是等边三角形.理由略．
（2）△AOD是直角三角形.理由略．
（3）由题意得∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α.根据“三角形内角和等于180°”得∠OAD=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°．
因为△AOD是等腰三角形，所以分三种情况讨论：
①当AO=AD时，得∠AOD=∠ADO．
所以190°-α=α-60°.解得α=125°．
②当OA=OD时，得∠ODA=∠OAD．
所以α-60°=50°.解得α=110°．
③当DA=DO时，得∠DAO=∠DOA.所以190°-α=50°.解得α=140°．
所以当α=110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形．
评注 根据已知及可知条件和“三角形内角和等于180°”，可用字母α的代数式分别表示出△AOD的三个内角，然后利用“等边对等角”建立关于α的方程，从而求出α的值．
图3例3 将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上AC滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q（图3示），设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你所观察得到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PQC是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PQC成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试验说明理由．
解 （1）PQ=PB.证明略．
（2）y=122-x2，0≤y≤1．
（3）△PQC可能成为等腰三角形.因为△PQC是等腰三角形，
所以分三种情况讨论：
①当PQ=PC时，点Q与点C重合，所以x=22．
②当QP=QC时，点Q与点D重合，所以x=0．
③当CQ=CP时，得∠CQP=∠CPQ=22.5°.进而得∠ABP=∠APB=67.5°.所以x=AP=AB=1，CQ=2-1．
所以点Q的位置分别为与点C重合、与点D重合、CQ=2-1，相应的x值分别为22、0、1．
评注 因为题目给出的是有关边的条件，所以当CP=CQ时，根据“等边对等角”可得到∠CQP=∠CPQ=22.5°，还建立不了关于x的方程，只有再利用“等角对等边”得到AP=AB时才建立了关于x的方程，从而求出x的值．
途径三：利用“等腰三角形的‘三线合一’性”建立方程
例4 （2011孝感）如图4，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上的点F处，折痕为AE，连接OA，已知AB=8，AD=10，并设点B的坐标为（m，0），其中m＞0．
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若△OFA是等腰三角形，求m的值；
（3）如图5，设抛物线y=a(x-m-6)2+h经过A、E两点，其顶点为M.连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．
图4 图5解 （1）E(m+10,3)，F(m+6,0)．
（2）因为△OFA是等腰三角形，所以要分三种情况讨论：
①当OF=OA时，m=73．
②当FO=FA时，m=4．
③如图4，当AO=AF时，得BO=BF=12OF.所以m=12(m+6).解得m=6.
所以当m=73、4、6时，△OFA是等腰三角形．（3）a=14，h=-1，m=12．
评注：直接用“斜向”线段AO、AF相等，利用勾股定理也可建立方程求出m的值，就是繁了点.不如根据“等腰三角形底边上的高就是底边上的中线”得到BO=12OF建立方程简单．
途径四：利用勾股定理建立方程
例5 （2009江苏）如图6，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3，0)和点E(0，4).动点C从点M(5，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、12t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；
②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．
图6 图7解 （1）C(5-t,0)，P3-35t,45t．
（2）①43≤t≤163．
②因为△PAB为等腰三角形，所以要分三种情况讨论：
（ⅰ）当PA=PB时，t=5．
（ⅱ）当AP=AB时，t=43,t=203．
（ⅲ）如图7，当BP=BA时，则BP2=BA2.根据勾股定理，得
GB2+PG2=BA2.所以(110t+2)2+45t2=t2．
解得t=4,t=-207（舍）.所以当t=43、4、5、203时，△PAB为等腰三角形．
评注：因为BP是“斜向”线段，所以要表示BP就要构造Rt△BGP.当BP=BA时，先要把它转化为BP2=BA2，然后利用勾股定理建立关于t的方程，从而求出t的值．
途径五：利用比例式建立方程
例6 （2009仙桃）如图8，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N.P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△MCP为等腰三角形？
图8解 （1）NC=t+1，MC=54(t+1)．
（2）t=2．
（3）不存在.理由略．
（4）因为△MCP为等腰三角形，所以要分三种情况讨论：
①当MC=MP时，t=23．
②当CM=CP时，t=119．
③当PM=PC时，得FC=MF=12CM.进而有△CPF∽△CAB得CFCP=45.所以58t+14-t=45.解得t=10357．
所以当t=23、119、10357时，△MCP为等腰三角形．
评注 先由等腰三角形的“三线合一”性，得FC=FM.然后根据相似得比例式建立关于t的方程，从而求出t的值．
