直线与圆中的对称问题【圆锥曲线中的对称问题】
时间：2019-02-23 03:25:57 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
近年高考中频频出现圆锥曲线的对称问题,此类问题在教材中涉及得少,很多同学处理起来不太顺手. 圆锥曲线关于对称问题的题型,归纳起来有如下几种: 1. 两点、两曲线关于某点成中心对称;
2. 两点、两曲线关于某直线成轴对称;
3. 曲线关于中心或轴的自身完全对称.
【解题方法】
1. 解决中心对称问题主要用:(1)中点坐标公式;(2)曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线是f(2a-x,2b-y)=0.
2. 解决轴对称问题主要依赖垂直和中点两个方面,要熟知一些结论,如: -f(x)+f(2a-x)=2b,则f(x)关于点(a、b)对称.
设M(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点为N(x2,y2),则
A(y2-y1)+B(x2-x1)=0,A・■+B・■+C=0;
x2=x1-■,y2=y1-■.
由此得曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线的方程是
f x-■,y-■=0.
【典型例题】
例1 设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若■=2■,且■・■=1,则P点的轨迹方程是()
A. 3x2+■y2=1(x>0,y>0) B. 3x2-■y2=1(x>0,y>0)
C. ■x2-3y2=1(x>0,y>0) D. ■x2+3y2=1(x>0,y>0)
解 由■=2■及A、B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知, A(■x,0),B(0,3y),■=(-■x,3y),由点Q与点P关于y轴对称知,Q(-x,y),■=(-x,y),则■・■=(-■x,3y)・(-x,y)=■x2+3y2=1(x>0,y>0). 故选D.
点评 此题主要考查向量共线、向量的数量积、对称、曲线轨迹方程的求法,是向量与解析几何结合的常规类型.
例2 已知直线y=-x+1与椭圆■+■=1(a>b>0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l:x-2y=0上.
(1) 求此椭圆的离心率;
(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上,求此椭圆的方程.
解 (1)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由y=-x+1,■+■=1 得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0.
根据韦达定理,得x1+x2=■,y1+y2=-(x1+x2)+2=■,
∴ 线段AB的中点坐标为(■,■).
由已知得■-■=0,∴ a2=2b2=2(a2-c2),∴ a2=2c2.
故椭圆的离心率为e=■.
(2)由(1)知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0). 设F(b,0)关于直线l:x-2y=0的对称点为(x0,y0),则■・■=-1且■-2×■=0.
解得x0=■b且y1=■b.
由已知得x20+y20=4,∴ (■b)2+(■b)2=4,∴ b2=4.
故所求的椭圆方程为■+■=1.
例3 圆锥曲线C的一个焦点为F(2,0),相应的准线是直线x=1,以过焦点F并与x轴垂直的弦为直径的圆截准线x=1所得弦长为2.
(Ⅰ) 求圆锥曲线C的方程;
(Ⅱ) 当过焦点F的直线l的倾斜角α在何范围内取值时,圆锥曲线C上有且只有两个不同的点关于直线l对称?
解 (Ⅰ) 设过焦点F并与x轴垂直的弦为直径的圆为圆C′,圆M与曲线C在第一象限的交点为A,圆C′与直线x=1 正方向的交点为B.
∵圆C′截直线x=1的弦长为2
∴ AF=BF=■,∴ A(2,■),e=■=■.
由圆锥曲线的第二定义,对于曲线C上的任意点
M(x,y),有■=e=■.
整理得:圆锥曲线C的方程为x2-y2=2.
(Ⅱ) 当直线l的倾斜角为α=■时,l:x=2,此时双曲线C上无任何两点关于直线l对称.
当直线l的倾斜角为α=0时,l:y=0,此时双曲线C关于直线l对称. 除顶点外,对双曲线上任一点都存在双曲线上另一点关于直线l对称,不合要求.
当α≠■,α≠0时,设l:y=k(x-2). 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点是双曲线C上关于直线l的对称点,PQ中点为T(x0,y0),直线PQ的方程为y=-■x+m,则
y=-■x+m,x2-y2=2,
∴ (k2-1)x2+2kmx-k2(m2+2)=0.
由k2-1≠0,Δ=4k2m2+4k2(k2-1)(m2+2)>0可得
k≠±1且m2k2+2k2-2>0.①
由韦达定理及中点坐标公式,求得T点坐标x0=■=■,y0=-■×■+m=-■.
又T点在直线l上,∴ -■=k(■-2),整理得:mk=1-k2.②
联立①②得:(k2-1)(k2+1)>0?圯k1.
∴ 直线l的倾斜角α的范围是(■,■)∪(■,■).
[练习题]
1. 与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是()
A. 3x+4y-5=0 B. 3x+4y+5=0 C. -3x+4y-5=0 D. -3x+4y+5=0
2. 已知曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1,曲线C′与C关于直线l对称.
(1) 当k=1时,求曲线C′的方程;
(2) k为何值时,曲线C上存在不同两点P、Q关于直线l对称;
(3) 求证:不论实数k为何值,C与C′恒有公共点.
[参考答案]
1. B.
2. (1) 设曲线C′上任意一点(x、y)关于l的对称点为P′(x0,y0)求得C′方程为(y+1)2-(x-1)2=1.
(2) 由已知条件设PQ所在直线方程为:y=-■x+b(k≠0,显然k=0时不合题意),则有:y=-■x+b(k≠0),x2-y2=1.
消去y求得:Δ=4(b2+1-■)>0.
设PQ中点为M(xm,ym),则
xm=-■=■,ym=-■.
代入l方程得k2>1或0
