向量与立体几何:空间向量与立体几何知识点

时间：2019-02-21 03:25:41　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　立体几何考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力．高考一般包括两个小题和一个大题，小题以考查基本位置关系的判定和角、距离等基本运算为主；大题既考查定性的判断空间线面的位置关系，也考查定量的角或距离的计算．同学们要关注常规解法和向量解法，这类题目多以不规则几何体为载体，并且以“方便建系”为原则. 此外，对几何体的非常规放置问题同学们也要引起足够的重视．
　　
　　■ 专项模拟
　　1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，设面A1BC1与面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为（）
　　．如图1，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，平面ACD1截球O的截面面积为（）
　　（）
　　A． 12 B． 12π
　　4．有下列四个判断：①平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ；②直线a∥b，a⊥平面α，b⊥平面β；③a，b是异面直线，a?奂α，b?奂β且a∥β，b∥α；④平面α内距离为d的两条平行直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行直线．其中能推出α∥β的条件有_________?摇（填写所有正确条件的代号）．
　　5．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．
　　（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；
　　（Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距离；
　　（Ⅲ）求二面角A-A1B-C余弦值的大小．
　　6．如图2，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为底面A1B1C1D1和ABCD的中心，且A1在底面ABCD上的射影为O．
　　（Ⅰ）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
　　（Ⅱ）若点E，F分别在AA1，BC上，且AE=2EA1，则点F在何处时，有EF⊥AD？
　　（Ⅲ）若∠A1AB=60°，求二面角C－AA1－B的大小．
　　7．如图3，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=2，AB1⊥BC1，点D为A1C1的中点．试求：
　　（Ⅰ）CD与平面AB1D所成角；
　　（Ⅱ）点C1到平面AB1D的距离．
　　（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面BCD；
　　（Ⅱ）求直线AD与直线BC所成角的大小；
　　（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
　　9．如图5所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
　　（Ⅰ）求证：B1D1∥面A1BD；
　　（Ⅱ）求证：MD⊥AC；
　　起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角，设E，F分别是线段AB，PD的中点（如图7）．
　　（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
　　（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小；
　　（Ⅲ）求点D到平面PEC的距离．
　　11. 如图8，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，PE=2EB.
　　（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
　　（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
　　（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小.
　　
　　■ 解题反思
　　在几何体中，平面放置位置不是水平或垂直形式时，不利于问题的分析．例如第7题，直线CD与平面AB1D所成角，作出CD在平面AB1D内的射影是难点，有两条途径可解决问题：
　　１．考虑过点C作平面AB1D的垂线；
　　２．直接寻找过CD的平面α，使α⊥平面AB1D．
　　不论几何体如何放置，牢牢抓住构造垂直关系是解决问题的关键．第9题第（Ⅲ）问，难点是无法明确究竟是哪个平面与面CC1D1D具有垂直关系，但如果遵循“执果索因”的原则来进行分析，还是可以把问题解决的．使用向量法解题时，建立适当的坐标系是第一步，如果题目条件中没有给出三条两两垂直的线段，就要先构造出这样的线段，然后证明其满足两两垂直，进而建立坐标系，例如第5题． ■
　　
　　1． C2． A
　　3． B4． ②③
　　5．（Ⅰ）证明略
　　6．（Ⅰ）证明略
　　（Ⅱ）点F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD
　　8．（Ⅰ）证明略
　　为AD与BC所成角
　　9．（Ⅰ）证明略
　　（Ⅱ）证明略
　　（Ⅲ）当点M位于BB1的中点时，有平面DMC1⊥平面CC1D1D
　　10. （Ⅰ）证明略
　　（Ⅱ）３０°
　　11. （Ⅰ）证明略，提示：由BC⊥平面PAB可得
　　（Ⅱ）证明略，提示：连结BD，交AC于点M，由PD∥EM可得
　　角

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