导数公式及运算法则【函数与导数,,疑难将何去】

时间：2019-03-12 03:26:39　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　函数与导数的应用是新课程数学高考的重要内容．２０１０年的高考数学卷与前几年的高考数学卷相比，“重”在综合与运用，“热”在函数、方程与不等式. 那么，“疑”与“难”又有怎样的新变化呢？在选择题和填空题方面，除了与实际应用相联系的问题频频出现，说不上有其他明显的变化倾向. 可在解答题方面，通过增加已知函数中含参的个数或仅给出自定义函数的性质，来增设“疑点”、提升“难点”的问题多有所见，这种问题值得同学们关注．
　　例（2010年高考数学江苏卷第20题）设ｆ（ｘ）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为ｆ′（ｘ）．如果存在实数a和函数h（ｘ），其中h（ｘ）对任意x∈（1，+∞）都有h（ｘ）>0，使得ｆ′（ｘ）=h（ｘ）（ｘ2-ａｘ+1），则称函数ｆ（ｘ）具有性质P（ａ）．
　　（１）设函数ｆ（ｘ）=lnx+（ｘ＞1），其中ｂ为实数． ①求证：函数ｆ（ｘ）具有性质P（b）；②求函数ｆ（ｘ）的单调区间．
　　（２）已知函数g（ｘ）具有性质P（2）． x1，x2∈（1，+∞）且x10与ｆ′（ｘ）1时，h（ｘ）=>0恒成立，∴ 函数f（ｘ）具有性质P（b）．
　　②设φ（ｘ）=ｘ2-ｂｘ+1=x-2+1-．
　　当1-≥0，即-2≤b≤2时，φ（ｘ）=x-2+1->0．当x>1时，由①可知，φ（ｘ）=ｘ2-ｂｘ+1与ｆ′（ｘ）=（ｘ＞1）的符号相同． ∴ 此时ｆ′（ｘ）>0．可知ｆ（ｘ）在（1，+∞）上单调递增．
　　当ｂ＜-2时， ∵ 抛物线y=φ（ｘ）=ｘ2-ｂｘ+1开口向上，对称轴x=1仍有φ（ｘ）>0， ∴ ｆ′（ｘ）>0，可知ｆ（ｘ）在（1，+∞）上仍单调递增．
　　当b>2时，抛物线y=φ（ｘ）＝ｘ2-ｂｘ+1开口向上，对称轴x=>1，解方程ｘ2-ｂｘ+1＝0得x1=，x2=. 而=+>>1，=＝＜∈（0，1）， ∴ 当ｘ∈1，时，结合二次函数φ（ｘ）＝ｘ2-ｂｘ+1的图象可知，φ（ｘ）＜0，则ｆ′（ｘ）＜0 ，此时ｆ（ｘ）在区间1，上单调递减.同理可得，ｆ（ｘ）在区间，+∞上单调递增．
　　综上可得，当ｂ≤2时，ｆ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增；当ｂ＞2时，ｆ（ｘ）在1，上单调递减，在，+∞上单调递增．
　　（２）函数ｇ（ｘ）具有性质P（2），即ｇ（ｘ）的导函数ｇ′（ｘ）＝ｈ（ｘ）（ｘ2-2ｘ+1）＝ｈ（ｘ）（ｘ-1）2，其中函数ｈ（ｘ）＞0对ｘ∈（1，+∞）恒成立． ∴ 当x>1时，ｇ′（ｘ）>0， ∴ ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增．
　　当ｍ∈（0，1）时， ∵ ｘ1＜ｘ2，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2＞ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ1＝ｘ1，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2＜ｍｘ2+（1-ｍ）ｘ2＝ｘ2， ∴ α∈（ｘ1，ｘ2）. 同理可得β∈（ｘ1，ｘ2）. 由ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增可知ｇ（ｘ1）＜ｇ（α）＜ｇ（ｘ2），ｇ（ｘ1）＜ｇ（β）＜ｇ（ｘ2），∴ g（α）-g（β）＜g（ｘ1）-g（ｘ2）．
　　当ｍ≤0时，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2≥ｍｘ2+（1-ｍ）ｘ2＝ｘ2，β＝（1-ｍ）ｘ1+ｍｘ2≤（1-ｍ）ｘ1+ｍｘ1＝ｘ1，又∵ α＞1，β＞1，由ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增可知ｇ（β）≤ｇ（ｘ1）＜ｇ（ｘ2）≤ｇ（α）， ∴ g（α）-g（β）≥g（ｘ1）-g（ｘ2），与题意不符．
　　当ｍ≥1时，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2≤ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ1＝ｘ1，β＝（1-ｍ）ｘ1+ｍｘ2≥（1-ｍ）ｘ2+ｍｘ2＝ｘ2， ∵ α＞1，β＞1，由ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增可知ｇ（α）≤ｇ（ｘ1）

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