[定积分的高考复习方略]

时间：2019-02-23 03:28:11　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　高中教材对定积分的要求较低，需要学生从求曲边梯形的面积、变力做功等实例出发，了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的基本概念?郾高考中，这部分内容以选择题、填空题的形式出现为主，分值一般为5分左右?郾笔者根据自己对高考考纲的理解，认真分析了近年来各省市有关定积分的高考试题及模拟题，建议考生从下面几个方面复习定积分?郾
　　一、利用定积分求面积
　　例1 （2010山东卷）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
　　A?郾 ■?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇
　　C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■
　　解由题意得，所求封闭图形的面积为■（x2-x3）dx=■-■=■?郾故选A?郾
　　点评本题考查定积分的基础知识，即由定积分求曲线围成封闭图形的面积?郾
　　二、掌握常见的积分公式
　　例2 （2009年福建卷）■（1+cosx）dx等于（）
　　A?郾 π?摇?摇 B?郾 2?摇?摇 C?郾 π-2?摇?摇 D?郾 π+2
　　解法1 ■（1+cosx）dx=（x+sinx）■-■=π+2?郾故选D?郾
　　解法2 ■（1+cosx）dx=2■（1+cosx）dx=2（x+sinx）■0=π+2?郾故选D?郾
　　点评笔者分析了近年来的高考试题，翻阅了各省市的《考试说明》，认为考生应掌握常见的定积分公式有：■sinxdx=-cosxba，■cosxdx=sinxba，■xndx=■ba，■1dx=xba?郾
　　三、掌握积分的基本定义
　　例3 计算定积分■■dx=?摇?摇 ?郾
　　解由于被积函数是y=■（-2≤x≤2），被积区间是［-■，■］，所求定积分等于右图阴影部分的面积.
　　其中∠AOB=■，圆的半径是2，则■■dx=■S圆+2S■= ■（π×22）+2×（■×■2）=π+2?郾
　　点评有的被积函数比较复杂，求其积分比较困难，如果能够巧妙地利用定积分的定义，就能另辟蹊径，柳暗花明！
　　四、掌握简单的积分变量的改变
　　例4 计算积分■cos2xdx=?摇?郾
　　解设t=2x，那么dx=■d（2x）=■dt，于是
　　■cos2xdx=■■cos2xd2x=■■costdt=■sintπ■=■（sinπ-sin■）=-■?郾故填-■?郾
　　点评改变积分变量以后，必须注意积分区间的变化：当x=■时，t=■；当x=■时，t=π?郾
　　五、适当选取积分函数和积分变量
　　例5 由抛物线y2-4x-8=0与直线x-y-1=0所围成的封闭图形的面积是 ?郾
　　解在同一坐标系中作出抛物线y2-4x-8=0与直线x-y-1=0的图象如下图. 其交点分别是A（-1，-2）、B（7，6），选择y为积分变量，于是
　　S=■［（y+1）-（■-2）］dy=■（y+3-■）dy=（■+3y-■）6-2=■?郾
　　点评如果选择x为积分变量，被积函数不太好求，被积区间将变为［-2，-1］和［-1，7］，其计算量显然变大了?郾
　　六、函数的奇偶性在定积分中的应用
　　例6 计算定积分■x■dx=?摇?郾
　　解因函数f（x）=x■在区间［-■，■］上是奇函数，根据定积分的性质知：■x■dx=0?郾
　　点评奇函数在对称区间上的定积分为0，偶函数在对称区间上的定积分等于其在x轴正向的定积分值的2倍?郾本题不宜运用定积分公式去求，高中数学似乎没有给出这样的积分公式?郾而利用“奇函数在对称区间上的定积分为0”这一定理，则可使解题过程峰回路转！
　　七、掌握定积分与其他知识的交汇
　　例7 （2008年山东卷）设函数f（x）=ax2+c（a≠0）?郾若■f（x）dx= f（x0），0≤x0≤1，则x0的值?郾
　　解 ∵ ■f（x）dx=■（ax2+c）dx=（■ax3+cx）10=■a+c，而f（x0）=ax20+c，
　　∴ ax20+c=■a+c，即x20=■，解得x0=■或x0=-■（舍去）?郾
　　故填■?郾
　　点评本题以定积分为载体，解决方程问题?郾
　　例8 （2010年新课标全国卷）设y=f（x）为区间［0，1］上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分■f（x）dx，先产生两组（每组N个）区间［0，1］上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分■f（x）dx的近似值为?郾
　　解 ■f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，根据几何概型易知■f（x）dx≈■?郾
　　点评本题是定积分与概率知识的交汇题，并把两者有机地结合在一起，有助于我们对这些知识的深入理解?郾
　　例9 若等差数列｛an｝的首项满足■（sinx+a1cosx）dx=2，公差是2，若bn=■，则b1+b2+b3+…+b2011等于（）
　　A?郾 ■?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇Ｃ?郾 ■?摇?摇Ｄ?郾 ■
　　解由■（sinx+a1cosx）dx=2，得a1=1，故an=2n-1（n∈N*）?郾
　　∵ bn=■=■=■（■-■），
　　∴ b1+b2+b3+…+b2011=■［（■-■）+（■-■）+（■-■）+…+（■-■）］=■?郾
　　故选D?郾
　　点评以定积分为载体，考察考生对数列、不等式、复数、极坐标及参数方程等知识的掌握情况，这是今后高考命题的一个重要走向?郾
　　（编辑孙世奇）
　　
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