[谈谈“作图题”]平面镜成像作图题
时间：2019-01-30 03:36:09 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
作图是学习几何必须具备的一种基本能力, 尺规作图是几何作图的一种基本方法.现从以下五个方面来进行探讨. 一、对于基本作图,不仅要会画,还要理解画法的依据 例1(2006年宿迁市中考试题)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是().
A.(SSS)B.(SAS)C.(ASA)D.(AAS)
解析:用圆规截取得O′C′=OC,D′点是两条圆弧的交点,半径分别是OD、CD,说明O′D′=OD,C′D′=CD.因此△OCD和△O′C′D′全等的依据是(S.S.S.),由三角形全等,导出∠A′O′B′=∠AOB.故选A.
二、学会将一个作图题分解为基本作图题
例2(2005年苏州市中考试题)如图②,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为.
解析:圆心到A、B两点距离相等,那么圆心在AB的垂直平分线上,同理圆心又在BC的垂直平分线上,圆心就是两条垂直平分线的交点.因此只要作两次垂直平分线,问题就能解决.
由于题中提供了方格纸,结合点A、B、C的特殊位置,只用直尺就能画出线段AB、BC的垂直平分线(见图中虚线),得圆心坐标(2,0).
例3(2005年苏州市中考试题)如图③,平行四边形纸条ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,张老师请同学们将纸条的下半部分?荀ABFE沿EF翻折,得到一个V字形图案.请你在原图中画出翻折后的图形?荀A′B′FE.(用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹)
解析:由翻折知?荀ABFE和?荀A′B′FE关于直线EF对称.要画出?荀A′B′FE,只要确定点A′和B′.作∠EFB′=∠EFB,截取FB′=FB.找对称点B′点就转化为上述两个基本作图题.A′点类同.
B点的对称点B′也可这样来作:过B作EF的垂线,垂足为H;截取HB′=HB.B′的作法也转化为两个基本作图题.(请你动手画一画)
三、画弧的重要作用
在尺规作图中,直尺的用途就是连线,即过两点作直线、射线或线段.圆规的功能就是画圆弧,弧上的点到圆心的距离都等于定长(半径).
例4(2008年无锡市中考试题)已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40°.(1)请你借助图④画出一个满足题设条件的三角形;(2)你是否还能画出既满足题设条件,又与(1)中所画的三角形不全等的三角形?若能,请你用“尺规作图”作出所有这样的三角形;若不能,请说明理由;(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有个.
解析:如图④,两边夹角,得满足题设条件的三角形.由于题中来指明两条边是40°角的两边,就可能产生其中一边是40°角的对边的情形.有两种可能:(1)2cm是对边的长,如图⑤;(2)1cm为对边的长,因为垂线段长为2sin40°>2sin30°=1,无解,如图⑥.
将边长改为3cm和4cm后,当对边长为3cm时,有两解,如图⑦,其余两种情况类似,符合题意的三角形共有4个.
四、作图题也要进行“分析”
作图题和计算题、证明题一样,在解题中也需要进行分析.已知条件告诉了我们什么?要求作的图形等价于要作出什么?有时这样的分析要多次进行.
例5(2007年江西省中考试题)如图⑧,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB边上,四边形AEBF是矩形,请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(请保留画图痕迹).
解析:解决本题的关键在于找到∠AOB的平分线上的一个点.已知条件告诉我们OA=OB,说明△AOB是等腰三角形.由于等腰三角形三线合一,因此只要找到AB的中点.已知条件又告诉我们四边形AEBF为矩形,AB是矩形的一条对角线,由于矩形对角线互相平分,所以AB的中点就是矩形对角线的交点.为此,连接AB、EF,交点为C,射线OC就是∠AOB的平分线.
五、借助作图,拓宽解题思路
例6在方格纸上,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形.如图⑨,在方格纸上,以AB为边的格点三角形ABC是等腰三角形,则符合条件的C点共有个.
解析:以A为顶点的顶点:以A为圆心,AB长为半径,画弧,与图中格点的交点有6个,能构成等腰三角形的有4个;以B为顶角的顶点,类似,有1个符合条件;以AB为底边,作AB的垂直平分线,与格点无交点.综上,符合条件的C点共有5个.
例7(2008年海南省初中数学竞赛题)在平面直角坐标系xoy内,已知点A(3,-3),P是y轴上一点,则使△AOP为等腰三角形的点P共有个.
答案:4.
同学们,你们答对了吗?
