【隔窗观景问题的多层次思考】观景窗
时间：2019-05-23 03:24:39 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
通过玻璃扩大观察视野是考查光的折射定律的古老题目，始见于人教版(必修加选修)物理第三册第十九章《光的传播》B组习题(4)是这类题目的原型： 母题为了从坦克内部观察外界目标，在坦克壁上开一长方形孔，假设坦克的壁厚为20cm，孔的宽度为12cm，孔内安装一块折射率n=1.52的玻璃，厚度与坦克的壁厚相同，坦克内的人通过这块玻璃能看到的外界角度范围是多大？
(答案：中点最大为52°)
目前在各类学习资料中又有以下两个典型变例：
变式一为了从军事工事内部观察外面的目标，在工事壁上开一长方形孔，设工事壁厚d=203cm，孔的宽度L=20cm，孔内嵌入折射率为n=3的玻璃砖，求：
(1)工事内的人员观察到外界的视野的最大张角为多少？(答案：两边各为60°，最大为120°)
(2)要想使外界180°范围内景物全被观察到，则应嵌入多大折射率的玻璃砖？(答案：n=2)
变式二安全门上观察孔的直径为4cm，门的厚度23cm，为了扩大向外观察的范围，将孔中完全嵌入折射率为3的玻璃，求：
(1)嵌入玻璃砖后向外观察视野的最大张角；(答案：中点最大为120°)
(2)当视野扩大到180°时嵌入玻璃的折射率.(答案：n=2)
粗看起来，三道题目只是数据不同，运算方法完全一样，无非是光的折射定律结合全反射现象，实际情况真的是这样吗？
1简单的题目中却有两点难下定论
仔细探究会发现有两个亟待解决的问题多年来一直困扰着广大师生：第一，中点的张角是否总是最大？原题和变式二均按中点最大来计算；第二，“外界角度范围”或“视野的最大张角”是哪种观察方式下的角度？是眼球不动时定点观察的结果还是眼球移动时左右观察的结果？母题和变式二按定点观察来分析，而变式一按左右观察来处理.
2中点的张角不一定最大
2.1设定条件，兼顾两端
设玻璃砖的外侧为A、B，观察者所在的内侧为C、D，定点观察时的张角是由壁厚d、孔宽L和玻璃的折射率n共同决定的，为便于画图和讨论可先假定壁厚d和玻璃的折射率n是确定
的，而孔宽L是变化的.要探讨哪一点的张角最大，首先要确保在CD之间的任意位置都能看到从外界射向A、B两端点的光线.如图1所示，受全反射现象的制约，假定接近于90°的“极限”光线从A点入射后恰好沿AC折射，设此时CD的长度为L0.
由光的折射定律可知
nsin∠DAC=nL0d2+L20
=sin90°，
解得L0=dn2-1.
只有当实际的孔宽L≤L0时，才能保证人的眼睛在CD之间的任一点时总能看到从A、B两个边界射来的光线.
2.2建立函数，确定关系
对极值问题，一般情况需要建立相应的函数关系来解决，如图2所示，以D点为原点建立直角坐标系，E为CD之间的任意一点，并设x=DE，若从外界射向A、B的光线折射后都射向E点，在A、B两边界发生折射时的入射角和折射角分别为i1、i2、r1、r2，由
sini1=nsinr1=nxd2+x2，
sini2=nsinr2=n(L-x)d2+(L-x)2，
得人的眼睛在E点观察时的张角
y=i1+i2
=arcsinnxd2+x2+arcsinn(L-x)d2+(L-x)2，
其中x∈.
对这样一个复杂的函数即便用高等数学来求其在定义域内的最大值也是相当困难的，所以在当时的《物理(第三册)教学参考书》中是通过分别计算中点和端点的视角进行比较后说“通过计算可知，人眼在孔的中央看到的范围最大”.那么，这样计算的依据是什么？为什么在找最大张角时不考虑除中点和端点以外的其它点？中点的张角是否总是最大？
2.3图象给力，解惑释疑
在计算机技术越来越多的为教学提供辅助的今天，跳过一些过于复杂的计算转而通过图象分析来寻找突破不失为一种有效的手段，利用绘图软件(如《几何画板》)根据函数关系可以方便的画出图象，当改变参数n、d、L的数值时，图象随之而变，归纳起来大致有如图3所示的五种情形：
从图中可看到，该函数关于x=L2对称，由函数在定义域x∈［0,L］里的增减性可以看到最大值只在端点或中点
处(如果是最小值则要复杂许多)，在甲、乙两种情形下中点的张角较大，也是最大；在丙、丁两种情形下中点的张角较小，但不一定是最小；图戊为一种非常特殊的情况，当n=1.5且L=2d时端点和中点的张角相等，都是90°，这一点可以自行验证.由于玻璃的折射率通常大于1.5，所以大多数情况为前四种.其中母题属于乙，经过计算可知中点的张角为52°，两端点的张角各为51°；变式一属于丙，中点的张角为57.4°，而两端点的张角各为60°.所以教参里说“通过计算可知，人眼在孔的中央看到的范围最大”，仅仅是针对母题这种情况而言的，不能毫无根据的将其上升为一条结论而广泛使用.事实上，当孔宽时通过计算确定是中点还是端点的张角最大是可行的.
2.4分段处理，总结规律
对不同数据的题目进行判断时，是非常重要的一个临界值，不妨将其称为临界孔宽.虽然当L≤L0时，需通过计算确定是中点还是端点的张角较大，但当L>L0时问题变得简单多了，如下表所示：
由此可见，变式二中L0=dn2-1=2.45cm，属于L0＜L＜2L0的情形，张角最大的位置有两个，位于距中点距离为(L0-L2)=0.45cm处，该处的张角为135°，而中点的张角为120°，显然，原题给出的答案是错误的.
3观察方式不同结果也不同
在实际生活中，人们在隔窗观察外界景物时总是将眼睛从一侧移动到另一侧以便看到更多的东西，而角度却是从一点向两边张开的，是定点观察还是左右观察属于见仁见智的问题.但是不同的观察方式会使运算结果大不相同，以变式二为例：定位于中点观察时能同时看到左右各60°角的外界范围，要想看到180°的全景，所用玻璃的折射率n=L2+4d2L=2,如果眼睛从一侧移动到另一侧观察时，在中点两侧各0.45cm的范围内移动眼睛则不需要更换玻璃，如果是在整个4cm的距离内移动眼睛，即便换成是折射率n=L2+d2L=72
的介质一样能将180°的全景尽收眼底！
有鉴于此，部分老师建议分别用“视角”和“视野”来区分两种情况，理由是视角是“人眼对物体两端的张角”，指视觉角度，而视野是“眼睛看到的空间范围”，即视觉宽度.笔者认为还是略有不妥，这是因为视野一词有两种情况：“人的头部和眼球固定不动的情况下，眼睛观看正前方物体时所能看得见的空间范围，称为静视野；眼睛转动所看到的称为动视野”，所以严格的说定点观察与左右观察分别对应静视野与动视野.如果这样设问势必会增加学生对静视野与动视野两个概念的理解与区分，不免掉入文字游戏的泥淖.
4几点建议与体会
4.1设问明确，免生歧义
笼统的提“外界角度范围”或“视野的最大张角”会让人无所适从，因此在有些评分标准中将眼动与眼不动得出的结果都按正确对待实属无奈之举认.为了有所区分，在设置问题时一定要明确是哪种观察方式！如果是定点观察则将问题设置为：哪一点的视角最大？最大视角为多少？要想使外界180°范围内景物全在中点被观察到，则应嵌入多大折射率的玻璃砖？如果是左右观察则将问题设置为：眼睛从一端移动到另一端能看到外界多大角度的范围？在这种观察方式下要想使外界180°范围内景物全被观察到，则应嵌入多大折射率的玻璃砖？
4.2抓住关键，事半功倍
对左右观察的问题由于只是在端点处求相应的角度，其运算较为单一，不需要过多的说明.对定点观察的问题则要确定接近于90°的“极限”光线从一端入射后会折射到哪个位置，是“不足”的问题还是“有余”的问题？转化为代数关系则是L与L0=dn2-1的大小关系：L≤L0属于“不足”的问题；L＞L0则属于“有余”的问题.L0是这类题目的“问路石”，它的确立为我们指明了解题的方向.
4.3对号入座，灵活处理
虽然在列表中分为四种类型，但在实际解题时不必如此细化，只要理解Ⅰ类和Ⅱ类两种基本情况就足够了，简单的说就是“不足要比较，有余需找零”：对“不足”的问题，要通过计算比较出中点和端点哪一点的张角较大；对“有余”的问题分两步运算，先计算射向一个端点的“极限”光线射在哪个位置，该侧的张角为90°，后计算剩余部分(零头)长度为(L-L0)所对应的角度，两个角度相加即为所求.
纵上所述，从图象入手进行分析澄清了一个事实，即“中点的张角不一定最大”；给出了一个验证，即“通过计算确定是中点还是端点的张角最大是可行的”；提供了一种方法，即“由临界孔宽的大小将问题转化为不足和有余两种基本情况”.但是要真正圆满解决问题，一定要有严格的数学证明，笔者虽多方尝试但没能找到更巧妙的证明方法，在这里抛砖引玉，希望广大物理教师，更希望数学教师参与其中对这一问题提供最完美的答案.
