解一元二次不等式 略谈用换元法证明不等式
时间：2019-04-30 03:21:48 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
换元法是一种基本的数学方法，也是数学通法的主体之一，在数学解题中有着广泛的应用.许多数学问题中的某些字母或式子通过恰当的换元,能化归为一个相对简洁或比较熟悉的问题，有利于问题的解决.以下就换元法在不等式证明中的应用作一阐述.
一、 约束条件下的不等式证明
1.对约束条件进行换元
【例1】 设x2+y2-xy=1,求证:|x2-y2|≤233.
证明:
因为x2+y2-xy=1，
所以(x-y2)2+(32y)2=1.
令x-y2=cosθ,32y=sinθ，
则
x=sinθ3+cosθ,y=23sinθ.
x2-y2=(sinθ3+cosθ)2-(23sinθ)2
=13sin2θ+cos2θ
=233sin(2θ+π3).
从而|x2-y2|≤233 .
【例2】 设x,y∈R且x2-92y2=2,求证:|2x+3y|≥2.
证明: 因为x2-92 y2=2,则
(x+32y)(x-32y)=2,
令x+32y=2t,x-32y＝2t ,则
x=22(t+1t),y=13(t-1t).
从而|2x+3y|=|(2+1)t+(2-1)1t|=(2+1)|t|+(2-1)1|t|≥2.
2.利用约束条件,对不等式中相关的式子换元
【例3】 设a,b,c∈R+,abc=1,n∈N,证明:(an-1+1bn)(bn-1+1cn)(cn-1+1an)≤1.
证明:因为abc=1, 则bn-1+1cn=bn(1-1bn+an),cn-1+1an=1an(1+1bn-an).
令an-1+1bn=x，an+1-1bn=y，-an+1+1bn=z，
得an=x+y2，1=y+z2，1bn=z+x2.
故原不等式等价于8xyz≤(x+y)(y+z)(z+x).
由于x+y＞0,y+z＞0,z+x＞0,故x,y,z中至多一个小于0,
当x,y,z中恰有一个小于0时,8xyz≤(x+y)(y+z)(z+x)成立.
当x,y,z全大于0时,由于x+y≥2xy,y+z≥2yz,z+x≥2zx.上述三式相乘,即有8xyz≤(x+y)(y+z)(z+x).
【例4】 已知正数a,b,c满足a+b+c=3，求证:4a+1+4b+1+4c+1＞2+13.
证明:令4a+1-14a=x,4b+1-14b=y,4c+1-14c=z,
则4a+1=4ax+1.整理得4ax2+2x-1=0.
由于0＜a＜3故12x2+2x-1＞0.注意到x＞0.得x＞13-112,
从而有：4a+1＞13-13a+1.
同理：4b+1＞13-13b+1,4c+1＞13-13c+1
.上述三式相加,注意到
a+b+c=3.
故有4a+1+4b+1+4c+1＞2+13.
二、无约束条件下的不等式证明
1.对不等式中相关式子换元
【例5】 设a、b、c∈R+，求证:ab+c+ba+c+ca+b＞2.
证明:令ab+c=x,bc+a=y,ca+b=z，
则(b+c)x=a,故(a+b+c)x=a(1+x)≥2ax.从而有x≥2aa+b+c.
同理，y≥2ba+b+c,z≥2ca+b+c,
上述三式相加,并注意到等号不同时成立,
有x+y+z＞2
即ab+c+ba+c +ca+b＞2.
2.对不等式中相关式子换元后,转化为有约束条件的不等式
【例6】 已知: x、y、z∈R+.
求证:xx+y +yy+z+za+x≤322.
证明:令y=xtan2α,z=ytan2β,x=ztan2γ,α、β、γ∈(0,π2).
则tanαtanβtanγ=1 .故tanα、tanβ、tanγ中至少有一个不小于1.
不妨设tanγ≥1.则tanαtanβ≤1,即tanα≤tan(π2-β) .从而0＜α+β≤π2 .
令M=xx+y+yy+z+zz+x,则
M=cosα+cosβ+cosγ
=cosα+cosβ+11+tan2γ
=cosα+cosβ+11+cot2αcot2β
=cosα+cosβ+sinαsinβcos2αcos2β+sin2αsin2β,
由于2（cos2αcos2β+sin2αsin2β)≥(cosαcosβ+sinαsinβ)2=cos2(α-β),
-π2＜α-β＜π2，
故 cos(α-β)＞0.
从而cos2αcos2β+sin2αsin2β≥22cos(α-β)
.M≤2cosα+β2cosα-β2+2sinαsinβcos(α-β)＝
2cosα+β2?cosα-β2+2［cos(α-β)-cos(α+β)］2cos(α-β).
由于0＜α+β≤π2,-π2＜α-β＜π2
.
故M≤2cosα+β2+22［1-cos(α+β)cos（α-β）］≤2cosα+β2+22［1-cos(α+β)］，
即 M≤-2cos2α+β2+2cosα+β2+2=-2?(cosα+β2-22)2+322≤322.
从而有 M≤322,
即 xx+y+yy+z+zz+x≤322.
(责任编辑 金 铃）
