立足考纲　拿下立体几何:立体几何专项经典例题

时间：2019-02-21 03:24:48　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　空间角是立体几何中的一个重要概念，是空间图形的一个关键的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现．空间角频现于历年高考试题中，在选择题或填空题中出现过，更多的是出现在解答题中，大多属于低中档试题．其中二面角是三种空间角（线线角、线面角、面面角）中最复杂的一种，也是高考考查较频繁的一种，通常属于中档试题，是解答题中的一个小问. 2008年除安徽、福建、辽宁、广东、宁夏、海南等地区外高考数学都考查了二面角．线面角、线线角大多出现在选择题或填空题中．
　　[⇩] 知识梳理
　　1．求二面角的三种方法
　　（1）利用射影定理．在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积S与这个二面角θ的余弦的绝对值之积，等于这个多边形在此二面角的另一个半平面上的射影多边形的面积S′，即S′=Scosθ．
　　（2）利用异面直线上两点距离公式．二面角α－l－β的大小为θ，E∈α，F∈β，E∉l，F∉l，直线EF与l为异面直线，EB⊥l于点B，FD⊥l于点D，则EF2=EB2+FD2+BD2－2・EB・FDcosθ．特别地，当直线EF与棱l异面垂直时点B与点D重合，此时用垂面法构造平面角非常简单．
　　（3）利用空间向量．设二面角α－l－β的大小为θ，平面α的法向量为m，平面β的法向量为n，当θ为锐角时，θ=arccos，当θ为钝角时，θ=π－arccos．
　　2．求异面直线夹角的两种方法
　　异面直线夹角范围是0
　　，.
　　求线线角的方法有两种：
　　（1）传统方法，先找出或作出异面直线所成的角θ的图形，然后证明它符合定义（或是其补角），最后求含θ或π－θ的三角形．平移的途径往往是利用公理4平移，利用平行四边形平移，利用中位线平移或成比例线段平移．
　　（2）向量法，直线a与b是异面直线，若A∈a，B∈a且为不同两点，C∈b，D∈b且为不同两点，则􀎮，􀎯就是异面直线a与b的角或补角，设异面直线a与b所成的角为θ，则cosθ=．
　　
　　[⇩] 模拟调研
　　1．二面角的求解
　　模拟题1（2008北京东城区，易）如图1，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为等边三角形．
　　（Ⅰ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
　　（Ⅱ）求二面角B－AC－P的大小；
　　（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．
　　[图2][图1][P][A][B][C][D][P][B][C][D][M][N][A][O][F][E]
　　简析（Ⅰ）如图2，设O为AB的中点，连结PO，CO. 则PO⊥平面ABCD．所以∠PCO为所求角．易知所成角的大小为arctan．
　　（Ⅱ）（利用三垂线定理）如图2，连结AC，过点O作OE⊥AC于点E，连结PE．因为PO⊥平面ABCD，由三垂线定理得PE⊥AC，所以∠PEO是二面角B－AC－P的平面角．易得tan∠PEO==，所以二面角大小为arctan．
　　（Ⅲ）因为AB//平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点O到平面PCD的距离．易证得平面POM⊥平面PCD．点O到PM的距离即为所求距离．故点A到平面PCD的距离为．
　　高考题1（2007全国Ⅱ，中）如图3，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别是AB，SC的中点．
　　（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；
　　（Ⅱ）设SD=2CD，求二面角A－EF－D的大小．
　　点评该模拟题和高考题都考查了二面角的概念及一般求解方法，同时考查线面垂直、面面垂直、三垂线定理、勾股定理等知识和方法，具有较强的综合性．高考数学对求解二面角的考查大多侧重考查三垂线定理或者向量法的应用. 同学们要关注图形中某些线段的中点的选取，以方便解题．估计二面角仍是2009年高考立体几何解答试题的主旋律．
　　2．线面角的求解
　　模拟题2（2008湖北宜昌，易）如图4，四棱锥P－ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=，E为PC的中点．
　　（Ⅰ）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
　　（Ⅱ）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立？并说明理由．
　　 [P][D][E][M][C][A][B][O]
　　图4
　　简析（Ⅰ）连结AC，BD相交于O点，连结OE，易得OE为DE在平面PAC上的射影，所以∠DEO即为DE与平面PAC所成的角．在Rt△DEO中，tan∠DEO==，所以∠DEO=30°．
　　（Ⅱ）在Rt△PAC中，过点O作OM⊥PC于点M，可证得PC⊥平面MBD．故在线段PC上存在一点M，使PC⊥平面MBD成立．
　　高考题2（2008辽宁，中）如图5，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0[A][P][B][C][M][O]
　　图6
　　简析设PA=PB=．
　　（Ⅰ）平面PAB⊥平面ABC，且AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB．进而BC⊥PA，又PA⊥PB，所以PA⊥平面PBC．
　　（Ⅱ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连结PM． ∠PMO是二面角P－AC－B的平面角，PO=AO=． ∠BAC=30°，OM=，tan∠PMO=2．即二面角P－AC－B的大小为arctan2．
　　（Ⅲ）如图7，在底面ABC内分别过A，C作BC，AB的平行线，交于点D，连结OC，OD，PD，则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角． BC=AB・tan30°=2，OC==，所以PC==．易知底面ABCD为正方形，从而OC=OD，PC=PD．取CD的中点N，连结ON，PN，则PN⊥DC．在Rt△PCN中，cos∠PCN==．所以异面直线AB和PC所成角的大小为arccos．
　　[P][B][C][O][A][D]
　　图7
　　高考题3（2008天津，易）如图8，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD= 2，∠PAB=60°．
　　（Ⅰ）证明：AD⊥平面PAB；
　　（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
　　（Ⅲ）求二面角P－BD－A的大小．
　　点评该模拟题和高考题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角、三垂线定理、余弦定理等基础知识，也考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．异面直线所成角的求解，在平移构造发生困难时应选择向量法．高考试题对异面直线所成角的考查频率一般比线面角高些，但远不及对二面角的考查，估计2009年高考对线线角的考查力度将有所加强，主要在选择题中出现．

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