[怎样添加正方形中的辅助线]正方形辅助线

时间：2018-12-29 03:31:29　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　正方形是几何中的重要内容.有些正方形问题，若不添加适当的辅助线，则难以解决.怎样添加正方形中的辅助线呢？　　一、作对角线　　例1 如图1，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF=.
　　解：如图1，连接AC.
　　因为四边形ABCD是正方形，
　　所以AD=CD，∠ADN=∠CDN=45°.
　　又DN=DN，
　　所以△ADN≌△CDN（�SAS�）.
　　所以AN=CN，所以∠NAC=∠NCA，
　　所以∠CNF=∠NAC+∠NCA=2∠NAC.
　　同理，∠CME=∠MAC+∠MCA=2∠MAC.
　　所以∠CME+∠CNF=2（∠MAC+∠NAC）=2∠EAF=2×50°=100°.
　　二、作平行线
　　例2 （2008年嘉兴市中考试题）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，点G、H分别在AB、CD上，且EF⊥GH，求EFGH的值.
　　解：如图2，作AM∥EF交BC于点M，作DN∥GH交AB于点N，则AM=EF，DN=GH.
　　因为EF⊥GH，AM∥EF，DN∥GH，
　　所以AM⊥DN，
　　所以∠AMB=90°-∠BAM=∠AND.
　　又AB=AD，∠ABM=∠DAN=90°，
　　所以△ABM≌△DAN（�AAS�），
　　所以AM=DN，所以EF=GH，
　　所以EFGH=1.
　　三、作垂线
　　例3 如图3，正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM是（）
　　（�A） 45° （B） 55°
　　（C） 65° （D） 75°�
　　解：如图3，过点N作NF⊥BC于点F，则四边形NFCD为矩形.
　　所以NF=CD.
　　因为∠ABC=∠NFM=90°，CE=MN，BC=CD=NF，
　　所以�Rt�△BEC≌�Rt�△FMN（�HL�），
　　所以∠MNF=∠MCE=35°.
　　又∠ANF=90°，
　　所以∠ANM=∠ANF-∠MNF=90°-35°=55°.故选（�B�）.
　　注：①例3也可以按“作平行线”的方法做：过点B作BG∥MN交AD于点Ｇ；②例２也可以按“作垂线”的方法做：作EX⊥BC于点X，作CY⊥CD于点Y.
　　四、若一点是正方形一边的中点，则常将正方形的一顶点与中点连接起来并延长，与另一边的延长线相交
　　例4 （2006年青少年数学国际城市邀请赛试题）如图4，正方形的边长为2，E、F分别为边AB、AD的中点，G是CF上的一点，使得3CG=2GF.则△BEG的面积是.
　　解：如图4，延长CF交BA的延长线于点H.
　　因为∠D=∠HAF=90°,DF=AF,∠CFD=∠HFA，
　　所以△CDF≌△HAF（�ASA�），
　　所以CF=FH，CD=AH.
　　因为△CDF≌△HAF，
　　所以S��△BCH�=S��正ABCD�=2×2=4.
　　因为CF=FH，3CG=2GF，
　　所以HG=45CH，
　　所以S��△BGH�=45S��△BCH�=45×4=165.
　　因为AB=CD=AH，BE=12AB，
　　所以BE=14HB.
　　所以S��△BEG�=14S��△BGH�=14×165=45.
　　五、将正方形的边所在的三角形绕顶点旋转90°
　　例5 （第11届“希望杯”邀请赛试题）如图5，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积.
　　解：如图5，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则
　　△ABG≌△ADF.
　　所以AG=AF，∠BAG=∠DAF=15°，
　　所以∠GAE=∠BAG+∠BAE=45°.
　　又∠FAE=90°-∠BAE-∠DAF=45°，
　　所以∠GAE=∠FAE，
　　所以△GEA≌△FEA（�SAS�），
　　所以EF=EG，∠AEF=∠AEG=90°-∠BAE=60°.
　　在�Rt�△ABE中，�tan�∠BAE=BEAB，
　　所以BE=AB•�tan�∠BAE=3•�tan�30°=1，
　　所以CE=BC-BE=3-1.
　　在�Rt�△EFC中，∠CEF=180°-∠AEF-∠AEG=60°，�cos�∠CEF=CEEF，
　　所以EF=CE�cos�∠CEF=3-1�cos�60°=2（3-1）=EG.
　　故S��△AEF�=S��△AEG�=12EG•AB
　　=12×2（3-1）×3=3-3.
　　注：例5也可以按添下列辅助线来做：延长CB至G，使BG=DF，连接AG.
　　（初二）

相关热词搜索： 正方形 添加 辅助线

[怎样添加正方形中的辅助线]正方形辅助线

最新文章

热门文章