平面直角坐标系中的“折叠” 在平面直角坐标系中
时间：2018-12-24 03:20:43 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
平面直角坐标系中的“折叠”实质上就是轴对称变换和全等变换，在平面直角坐标系中，几何图形的位置和大小都可以用“数”来表示，因此，解决这类问题时要抓住对称点的坐标，折叠前后图形的结构特征等.
平面直角坐标系中的“折叠”问题常与一次函数、反比例函数、二次函数、勾股定理、三角函数、轴对称变换、全等变换等知识结合，构成较综合性问题.现举几例来探究此类问题：
问题1如图，直线l：y=-+与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，求点C的坐标.
解当x=0时，y=；当y=0时，x=1. ∴ OA=1，OB=， ∵ tan∠BAO==，∴ ∠BAO=60°. ∵ △ACB≌△AOB， ∴ ∠BAC=∠BAO=60°，ＡＣ＝ＡＯ＝１，又∵ ∠BAC＋∠BAＯ＋∠ＣＡx＝１８０°，∠ＣＡx＝６０°.过点C作CD⊥x轴于D点，在Rt△ADC中，CD=ACsin60°=，AD=ACcos60°=， ∴ OD=OA+AD=1+＝，故点C的坐标为（，）.
说明解决折叠问题的关键是搞清楚折叠前后哪些量变了，哪些量没变；折叠前后有哪些条件可利用，找到相关角、线段的相等关系，运用三角形的全等、解直角三角形等知识求解．
问题2已知直线AB的解析式为：y=-x+，求直线AB沿y轴折叠以后的直线的解析式.
解当x=0时，y=；当y=0时，x=1. ∴ A点坐标是（1，0）、B点坐标是（0，）.点A关于y轴的对称点C的坐标是（-1，0），点B关于y轴的对称点就是它本身，于是，设直线BC的解析式为：y=kx+b，分别将点C、B的坐标代入解析式得：b=，-k+b=0从而求得k=b=，所以直线AB沿y轴折叠以后的直线的解析式是y= x+.
说明本题主要考查学生对轴对称变换的应用，解题的关键是找到直线AB上的两个点及这两个点关于y轴的对称点，然后应用一次函数的相关知识来解决.解决本题的关键是抓住一次函数的解析式的模型及两点确定一条直线的性质.
问题3如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（－，５），D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．
解过点E作EF⊥OC于F，根据题意，有△DAO≌△DEO，得OE＝OA＝5，由B点坐标，知ＯＢ＝．再由△EFO∽△BCO，得==，解得EF＝3，OF＝4．则点E（－4，3），从而过点E的反比例函数为y=-.
说明本题综合考查了轴对称、全等、相似、反比例函数等知识．解决本题的关键是求出点E的坐标，再利用反比例函数解析式的模型，用待定系数法求解.
问题4如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.
（1） 当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；
（2） 当A′E//x轴，且抛物线y=-x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
（3） 当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.
解（1） 由已知可得∠A′OE=60°， A′E=AE.
由A′E//x轴,得△OA′E是直角三角形.
设A′的坐标为（0，b），则
AE=A′E=b，OE=2b.
∵ b+2b=2+，
∴ b=1. ∴ A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）.
（2） 因为A′、E在抛物线上，所以
1=c，1=-（）2+b+c.
所以c=1，b函数关系式为y=-x2+x+1.
由-x2＋x+1＝０得x1=-，x2=2.
与x轴的两个交点坐标分别是（-，0）与（2，0）.
（3） 不可能使△A′EF成为直角三角形.
∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°.
若∠A′EF=90°，利用对称性,则∠AEF=90°， A′、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾.
同理若∠A′FE=9０°也不可能.
所以不能使△A′EF成为直角三角形.
说明本题考查了轴对称、全等变换、解直角三角形、一元二次方程、二次函数等知识的综合应用，解决此类问题的关键是求出点E、A′的坐标.
问题5如图，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1） 设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2） 如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3） 在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
解（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°， ∴ ∠OPE=∠PBA．
∴ Rt△POE∽Rt△BPA．
∴ =.即=． ∴ y=x（4-x）=x2+x（0＜x＜4）．
且当x=2时，y有最大值．
（2） 由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则
c=1，a+b+c=0，１６a+4b+c=3.
∴ y=x2-x+1．
（3） 由（2）知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x－1，与y轴交于点（0，－1）．
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴ 该直线为y=x＋1．
由y=x+1，y=x2-x+1得x=5，y=6. ∴ Q（5，6）．
故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件．
说明本题重点考查了轴对称变换、三角形相似、用待定系数法确定二次函数解析式、方程组思想及一元二次方程的综合应用.难度较大，但是，只要耐心细致层层推进，是容易解决的.
问题6已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°．OA=2，ＯＢ＝４.如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与ＯＢ边交于点Ｃ，与边ＡＢ交于点Ｄ．
（Ⅰ） 若折叠后使点与B点A重合，求点C的坐标；
（Ⅱ） 若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（Ⅲ） 若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D//OB，求此时点C的坐标．
解（Ⅰ） 如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD.设点C的坐标为（0，m）（m＞0）.
则BC=OB-OC=4-m.于是AC＝ＢＣ＝４－m.在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，
即（4-m）2=m2+22，解得m=. ∴ 点C的坐标为（0，）.
（Ⅱ） 如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，则△Ｂ′CＤ≌△ＢCＤ.由题设OB′=x，OC=y，则Ｂ′Ｃ=BC=OB-OC=4-y，在Ｒt△Ｂ′OC中，由勾股定理，得Ｂ′C2=OC2=OＢ′2. ∴ （4-y）2=y2+x2，即y=-x2+2. 由点Ｂ′在边OA上，有0≤x≤2， ∴ 解析式y=-x2+2（0≤x≤2）为所求. ∵ 当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴ y的取值范围为≤y≤2.
（Ⅲ） 如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D//OB.则∠OCB″=∠CB″D.又∵∠CBD=∠CB″D， ∴ ∠OCB″=∠CBD，有CB″//BA. ∴ Rt△COB″∽Rt△BOA.有=，得OC=2OB″.在Rt△B″OC中，设OB″=x0（x＞0），则OC=2x0.由（Ⅱ）的结论，得2x0=-x02+2，解得x0=-8±4. ∵ x0＞0， ∴ x0=-8±4. ∴点C的坐标为（0，8-16）.
说明本题为关于轴对称的综合题，综合考查轴对称的性质、函数思想以及相似的判定和性质，在翻折的过程中，抓住线段和对应角的大小保持不变这一性质，问题就迎刃而解，有利于培养同学们动手和实践操作能力.
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