新鲜出炉之五:新鲜出炉
时间：2019-03-12 03:24:37 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
考试时最怕碰到什么题?难题,还是从未见过的新题?在对考场心态的“破坏力”上,两者的“段位”可谓不分伯仲.本工坊特推出“新鲜出炉”新题系列,拓展同学们的视野,让大家从此不再怕新题!
1. 已知椭圆有如下性质:椭圆C:+=1 (a>b>0)与x轴交于A,B两点,点P是椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,则•为定值b2-a2.
类比椭圆的性质可得命题:双曲线C:-=1 (a>0,b>0)与x轴交于A,B两点,点P是双曲线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,则•为定值. 请写出这个定值(不要求给出解答过程).
2. 如图1所示,从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,则MO-MT=.
3. 如图2所示,过抛物线y2=2px (p>0)的对称轴上一点A(a,0) (a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,过M,N分别作抛物线的切线,交于点P.
(1) 求证:点P的轨迹为直线l;
(2) 自M,N向直线l作垂线,垂足分别为M1,N1. 记△AMM1,△AM1N1,△ANN1的面积分别为S1,S2,S3,求证:为定值.
【参考答案】
1. 解析: 由题意可知,A,B为双曲线的顶点,A(-a,0),B(a,0). 设P(x0,y0),则AP的方程为:y=(x+a),BP的方程为:y=•(x-a), ∴ M0,,N0,,=a,,=-a,. ∵ 点P在双曲线上, ∴ -=1,即=. ∴ •=a,•-a,=-a2-=-a2-a2•=
-a2-b2.
2. 解析: 记双曲线的右焦点为F′,连接PF′,OT,则由三角形中位线定理可知MO=PF′. 在Rt△FTO中,由FO=c,OT=a,则FT=b, ∴ MO-MT=PF′-PF-b=(PF′-PF)+b;又由双曲线定义可知PF′-PF=-2a,且a=,b=, ∴ MO-MT=(-2a)+b=b-a=-.
3. 证明: (1) 设M,y1,N,y2(y1>0,y2
