[利用柯西不等式求最值的典型例题] 柯西不等式高中总结
时间：2019-03-12 03:24:34 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
柯西不等式是一个非常重要的不等式,它是求函数最值和证明不等式的常用工具,也是自选模块考查的重点.应用柯西不等式的关键是观察、分析所给式子的特点,使之转化为可以应用柯西不等式的形式,最后验证等号成立的条件.
例1已知x+y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.
解: (12+12+12)(x2+y2+z2)≥(1•x+1•y+1•z)2=1, ∴ x2+y2+z2≥ . 当且仅当x=y=z= 时取等号,∴ (x2+y2+z2)min= .
变式一: 已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值.
解: (12+22+32)(x2+y2+z2)≥(1•x+2•y+3•z)2=1, ∴ x2+y2+z2≥ . 当且仅当 = = 且x+2y+3z=1,即x= ,y= ,z= 时取等号, ∴ (x2+y2+z2)min= .
变式二: 已知x+y+z=1,求x2+2y2+3z2的最小值.
解: 1+ + (x2+2y2+3z2)≥1•x+ • y+ • z2=1, ∴ x2+2y2+3z2≥ . 当且仅当 = = 且x+y+z=1,即x= ,y= ,z= 时取等号, ∴ (x2+2y2+3z2)min= .
点评: 通过例1与两个变式我们可以看到:利用柯西不等式求最值时,关键是要构造一组数,使题中的不等式向着柯西不等式的形式进行转化,且使得不等式放缩后是常数.
例2已知x+y+z=1,且 x,y,z∈R*. (1) 求 + + 的最小值;(2) 求Q=x+ 2+y+ 2+z+ 2的最小值.
解: (1)+ + (x+y+z)≥ • + • + • 2=(1+1+1)2=9,当且仅当x=y=z= 时取等号,∴+ + min=9.
(2) Q= (12+12+12)x+ 2+y+ 2+z+ 2≥ 1•x+ +1•y+ +1•z+ 2= 1+ + + 2= 1+(x+y+z) + + 2≥ (1+9)2= . 当且仅当x=y=z= 时,Q取到最小值 .
点评: 在求解第(2)小题时一定要注意两步放缩等号同时成立的条件. 应用不等式求解最值,对等号能否成立(同时成立)要特别加以关注,稍有不慎就容易出错. 如“已知正实数x,y,z满足xyz=1,求x2+2y2+3z2的最小值”, 有同学可能会这样求解:“(x2+2y2+3z2)1+ + ≥(x+y+z)2≥(3 )2=9,∴ (x2+2y2+3z2)≥ .” 这样的解法就是错误的,因为解题过程中,第一步应用柯西不等式时等号成立的条件为x=2y=3z,而第二步应用均值不等式时等号成立的条件为x=y=z,在xyz=1的条件下,显然两个等号不能同时成立.
例3已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=m,a2+2b2+3c2+6d2=1. (1) 试求m的取值范围;(2) 若m=1,求a的最值.
解: (1) 由柯西不等式得:(a2+2b2+3c2+6d2)1+ + + ≥(a+b+c+d)2=m2, ∴ m2≤2, ∴ - ≤m≤ .
(2) 由柯西不等式得:(2b2+3c2+6d2) + + ≥(b+c+d)2,∴ 1-a2≥(m-a)2=(1-a)2,即0≤a≤1,当且仅当 = = 时等号成立. 因此,当b=c=d=0时,amax=1;当b= ,c= ,d= 时,amin=0.
【小结】 以上几种类型的题目是利用柯西不等式求最值的典型例题,从中不难看出应用柯西不等式的基本要点:
(1) 不等式放缩后是常数;
(2) 各步放缩等号成立的条件互不矛盾.
