[数学填空题解答八法] 五年级超难数学填空题解答
时间：2019-02-23 03:28:13 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
高考中，填空题的失分率较高，为此，探索填空题的解答方法就显得十分必要?郾 一、 直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论?郾 使用此法时，要善于透过现象看本质，采用灵活、简捷的解法?郾
例1 在等差数列｛an｝中，a1=-3，11a5=5a8-13，则数列｛an｝的前n项和Sn的最小值为 ?郾
解析 计算出基本量d，找到转折项即可?郾 设公差为d，则
11（-3+4d）=5（-3+7d）-13，
∴ d=■，
∴ 数列｛an｝为递增数列?郾
令an≤0，则
-3+（n-1）×■≤0，
∴ n≤■?郾
∵ n∈N*，
∴ 前6项均为负值，
∴ Sn的最小值为S6=-■?郾
故填-■?郾
点评 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值?郾
二、 图解法
依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显?郾 由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观分析，加上简单运算，一般就可以得出正确答案?郾 事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用图解法来求解，可节省许多时间?郾 利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容?郾
例2 若AB=2，AC=■BC，则S△ABC的最大值为?郾
解析 因为AB=2（定长），可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）?郾
设C（x，y），由AC=■BC，得
■=■■，化简得（x-3）2+y2=8，
即C在以（3，0）为圆心，2■为半径的圆上运动，
所以S△ABC=■×|AB|×|yc|=|yc|≤2■?郾 故填2■?郾
点评 有效地借助图象、表格等解填空题，能化难为易、节省时间，且不易出错?郾
三、 特例法
特例法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行?郾 当答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数，把一般形式变为特殊形式?郾 当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效?郾
例3 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则■=?摇 ?郾
解析 由题意知，本题结果与△ABC的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可?郾
方法一 取特殊值a=3，b=4，c=5，则cosA=■，cosC=0，则■=■?郾
方法二 取特殊角A=B=C=■，cosA=cosC=■，则■=■?郾
故填■?郾
点评 特例法是求解填空题的常用技巧之一，当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以优先采用特例法?郾 在解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等）进行处理，可快速得出结论，大大简化求解过程?郾
四、 等价转化法
有的题目可以将命题转化，通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”，可以将难以解决的问题转化为易于解决的问题，从而使问题获解?郾
例4 若a≥0，b≥0，且当x≥0，y≥0，x+y≤1时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于 ?郾
解析 恒有ax+by≤1，即y≤-■x+■恒成立，则■≥1，-■≥■，a≥0，b≥0，
所以b≤1，a≤1，a≥0，b≥0?郾易得面积S=1?郾
点评 某些问题直接入手较困难时，可考虑问题是否能等价转化，本例就是通过等价转化使得问题转化为较易入手的简单命题，从而得解?郾
五、 整体代换法
例5 在各项均为正数的等比数列｛an｝中，若a5・a6=9，则log3a1+log3a2 ＋…＋log3a10=?摇 ?郾
解析 本题若由已知条件求出an的表达式，从而逐项求出log3a1，log3a2，…，log3a10，再相加?郾 虽然这种思路有其合理成分，但不可取?郾
方法一 由已知条件，有9=a5・a6=a1q4・a1q5=a21q9，
从而a1a2…a10=a101q1+2+…+9=（a21q9）5=310，
则原式=log3（a1a2…a10）=log3310=10?郾
方法二 由9=a5・a6=a4・a7=a3・a8=a2・a9=a1・a10，知原式=log3（a5・a6）5=10?郾
点评 在有关等比数列的计算中，整体代换是常常用到的?郾
六、 构造法
用构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷解决?郾 构造法来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题得到快速解决?郾
例6 函数f（x）=■的最大值为M，最小值为m，则M+m=?郾
解析 根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，则
f（x）=1+■，所以 f（x）-1为奇函数，
则m-1=-（M-1），所以M+m=2?郾
故填2?郾
点评 注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法――部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化. 这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解?郾
七、 类比探究
类比猜想是以两个对象之间某些已知的相同或相似之处为根据，从而推出所求对象的性质的推理方法，这种根据是不充分的，因而类比推理的结论有时正确，有时不正确，其结论都需验证?郾
例7 类比“在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2+y2=r2”，猜想“在空间直角坐标系中，球心在原点、球半径为r的球（球面）的方程为 ”?郾
解析 从形式上类比可得x2+y2+z2=r2.
利用两点间的距离公式d=■，也可以得出答案?郾
故填x2+y2+z2=r2?郾
点评 类比探究型填空题让同学们从熟悉的公式、规律和操作程序中类比推广，寻求解题途径，体验数学的魅力?郾
八、 归纳猜想
有些填空题可通过“观察――归纳――猜想”的过程去探求和发现结果?郾
例8 设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线平行，任意三条直线不过同一点. 若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）= ；当n≥4时，f（n）=（用n表示）?郾
解析 f（n）表示n条直线交点的个数，若再增加一条直线，则这条直线与前n条直线都相交，交点个数增加n个，则f（n+1）=f（n）+n，且f（2）=0?郾
f（3）-f（2）=2，f（4）-f（3）=3，f（5）-f（4）=4，…，f（n）-f（n-1）=n-1.
将以上各式累加得f（n）-f（2）=2+3+4+…+（n-1）=■×（n-2）?郾
故f（n）=■（n+1）（n-2），f（4）=5?郾
点评 这类问题直接求解较复杂，可以利用归纳推理寻找规律，转化为推测任意两项的关系，再用数列的知识解决?郾
附：填空题求解注意事项
解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法?郾 解题时，常常可几种方法综合使用，迅速得到正确的结果?郾
求解填空题时需注意以下几点：
1?郾 审题要仔细
要从看清题目中的每一个字、词、数据、符号，到理解题意、分析隐含条件、寻找简捷的解题方法，都要有合理的分析和判断，并要求推理运算的每一步都准确无误?郾
2?郾 要求要看清
对要作答的要求要看清楚，如“正确的是”“不正确的是”“精确到”“用数字作答”“填上你认为正确的一种条件即可”“把你认为正确的命题的序号都填上”“结果保留π”等，由于填空题没有解答过程，没有步骤，一笔失误则徒劳无功、前功尽弃?郾
3?郾 书写要规范
（1） 对于计算型填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求，如：■不能写成■或写成sin30°等?郾
（2） 所填结果要完整，尽量做到不重不漏，如多选型填空题，不能漏填；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺“k∈Z”等?郾
（3） 要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果应写成集合或区间的形式等?郾
（4） 要重视对所求结果的检验?郾
（编辑 孙世奇）
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
