运动,解题的一条捷径 学而思解题捷径
时间：2019-01-30 03:36:08 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
同学们解几何题经常“卡壳”的一个主要原因,就是习惯把问题的条件看作静止的、固定的、不可变动的.其实,有些条件是灵活的,可以合并和拆分,可以移位和变动,可以转换和等价替代,甚至可以类比和放缩.如果转变一下看问题的角度,就会发现作辅助线是运动,分形、割补也是运动,图形的平移、折叠、旋转更是运动,一旦运动起来,那些题设条件便立即活泼、生动起来了.
下边试以旋转为例,略举几例:
例1求证:正方形的一个顶点与另一个大小相等的正方形的中心重合,当它绕这个重合点旋转时,它们重叠部分的面积不变.
既然重叠面积不变,就容易联想到旋转中的一个特殊位置(如图1),而这个重叠面积的不变量应该是小正方形OABC的面积(定值),进而想到去证△OAE ≌△OCF,问题迎刃而解.
例2一个半圆的圆弧外切于矩形ABCD的AD、DC、BC三边(如图2),AD长10厘米,求图中阴影部分的面积.
如果想到旋转,解答将十分简捷.将阴影的一部分――△EOC,绕O(矩形的对称中心)旋转180°至△FOA的位置,那么阴影的面积即为半圆的一半(就是扇形FAE),很快算得所求面积为25π平方厘米.
例3如图3,大圆的半径为10,四个半径相同的小圆都过大圆圆心,并与大圆相切.求图中阴影部分面积.
如果将阴影1剖为相等的两部分,然后分别绕点M旋转,可补进2、3空白,如此4次剖开、补进,可知阴影部分的面积为S大圆
-S正方形ABCD= 100π-200.
例4正方形ABEF与正方形ACDH有一个公共顶点A(如图4),求证:S△ABC = S△AFH.
设两正方形边长分别是a、b,不难推得图中∠α +∠β =180°.
如果联想到“旋转”,将△ABC按顺时针方向旋转90°到△AFC′的位置.
∵∠α +∠β =180°,∴H、A、C′在同一条直线上,则△AFC′与△AFH 等底同高,所以面积相等.得证.
例5如图5,在直角△ABC中,有一个内接正方形AEFH.已知BF=8厘米,FC =6厘米,试求△BFE与△FHC面积之和.
如果被静态思维所困,只能束手无策,然而将图局部地动一动,比如说将△HFC绕点F旋转90°至△EFC′的位置,那么点C必将落在AB(C′)上,这样∠EFC′与∠BFE拼成直角,两三角形拼成新的直角△BFC′,其面积为■×6×8=24 (cm2).
运动,是激活条件的重要途径,也是数学发现的重要源泉.一旦动起来,解题会更便捷.看来,运动是数学的生命,数学的灵魂.
