抛物线型桥洞中的数学_如图有一座抛物线桥洞

时间：2019-01-07 03:29:50　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　我们在平时解题时，不要满足于把题目解出来便万事大吉，而应向更深的层次去探究题目的内在联系，从而加深对题目之间的认识，这样既可培养创造思维能力，克服思维定式，又可免受题海困扰，从而提高学习效率.
　　原题：有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，把它的图形放在如图1所示的直角坐标系中.
　　（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
　　（2）如图，在对称轴的右边1m的点M处，对应的桥洞壁离水面的高度是多少？
　　解析：此题命题意图有两点：一是考查学生利用待定系数法求二次函数解析式；二是让学生在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，考查学生应用二次函数模型解决简单的实际问题的能力.
　　根据题意可知：该抛物线的顶点坐标为（5，4），且过点（0，0），于是利用系统定系数法可完成第（1）小题的解答；显然“对称轴的右边1m的点M处”的横坐标为6，因此第（2）小题求“对应的桥洞壁离水面的高度”也就是对于在（1）里所求的二次函数关系式中，当x=6时，求对应的二次函数值. 具体解答过程如下：
　　（1）设抛物线所对应的函数关系式为y=a(x-h)2+k.
　　由条件知，该抛物线的顶点为（5，4）
　　所以y=a(x-5)2+4，把（0，0）代入上式，得
　　0=a（0-5)2+4，解得a=-，
　　因此该抛物线对应的函数关系式为
　　y=-(x-5)2+4，即y=-x2+x.
　　（2）当x=6时，y=-×62+×6=3.84.
　　即桥洞壁离水面的高度是3.84m.
　　说明：第（1）小题还可以这样解答：设所求抛物线对应的函数关系式为y=ax2+bx+c，将点（0，0）代入得c=0. 再根据抛物线的顶点坐标公式得两个方程:-=5，与=4，解得a=-，b=，c=0，从而得到所求函数关系式为y=-x2+x.显然，这种解法较前面的解法烦琐.
　　针对原题题目，条件不变，我们进一步作如下变式探究：
　　变式探究1：当水面上升1m时，求此时桥洞下水面的宽度是多少？
　　解析：水面上升1m，如图2所示，求“此时桥洞下水面的宽度”就是求A、B两点之间的距离. 也即是当纵坐标为1时，所对应抛物线的两个横坐标的距离.
　　由1=-(x-5)2+4，解得x=5-，x=5+.
　　而x-x=5+-5-=5，
　　即是当水面上升1m时，桥洞下水面的宽度是5m.
　　变式探究2：现有一辆满载货物的船只欲通过该桥洞，已知货物顶部距水面3米，装货宽度为4.2米，请通过计算，判断该船只能否顺利通过桥洞.
　　解析：假设该船只是沿着桥洞的正中（船的中心线与抛物线的对称轴重合）行进，能否顺利通过桥洞，取决于当“货物顶部距水面3米”时的水平宽度，若这个宽度大于“装货宽度4.2米”时，则该船只能顺利通过桥洞；否则不能. 仿变式探究1，求出距水面3米高时的水平宽度.
　　由3=-（x-5）2+4解得x=7.5，x=2.5.
　　所以，距水面3米桥洞的水平宽度为：7.5-2.5=5＞4.2.
　　因此，该船只能顺利通过桥洞.
　　探究总结：（1）在求二次函数解析式时，若已知抛物线的顶点坐标与另一已知点，则设顶点式y=a(x-h)2+k较为简便；（2）利用数形结合思想，构建二次函数模型解决实际问题的关键是读懂问题，弄清所求问题与二次函数的联系――是已知函数值（y）求二次函数自变量（x）的值，还是已知自变量（x）的值求函数值（y）.

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