利用等腰三角形的一个性质证明一类几何题:等腰三角形的性质几何语言

时间：2019-04-09 03:27:34　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　性质:如图1，△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，则AC2-AD2=BD?CD．　　证明过点A作AO⊥BC，垂足为O.因为AC2=AO2+OC2，AD2=AO2+OD2，
　　所以AC2-AD2=（AO2+OC2）-（AO2+OD2）=OC2-OD2=（OC+OD）（OC-OD）=CD（OC-OD）．
　　又因为AB=AC，AO⊥BC，所以OC=OB.所以AC2-AD2=CD（OB-OD）=BD?CD．
　　
　　
　　图1 图2推论:如图2，△ABC中，AB=AC，D为BC延长线上任意一点，则AD2-AC2=BD?CD．
　　证明延长CB到E，使BE=CD，连接AE.易证△ABE≌△ACD，于是AE=AD，所以△AED是等腰三角形.由上面的性质得AD2-AC2=EC?CD=（EB+BC）?CD=（CD+BC）?CD= BD?CD．
　　应用这个性质，可证明一类几何题：a2-b2=cd型证明题.若题中线段符合a2-b2=cd，有平方差，则可以a为腰构造等腰三角形，使底边落在直线c或d上，运用该性质求解.举例如下：
　　
　　图3例1 如图3，已知：在△ABC中，AB=AC，延长BC到D，使CD=CB.求证：AD2=AB2+2BC2．
　　证明由推论得AD2=AC2+BD?CD=AB2+2BC?BC=AB2+2BC2．
　　
　　图4例2 △ABC的角平分线AD的延长线交外接圆于点E.求证：AE2-BE2=AB?AC．
　　证明如图4，作EF=EA，交AB延长线于点F，即构造等腰△EAF．
　　由性质得AE2-BE2=AB?BF.连接EC.因为AE平分∠BAC，EF=EA，所以∠EAC=∠BAE=∠F，BE=EC.又因为∠FBE=∠ECA，所以△FBE≌△ACE（AAS）.所以BF=AC.所以AE2-BE2=AB?AC．
　　例3 在△ABC中，∠ACB=2∠ABC.求证：AB2=AC2＋AC?BC．
　　证明如图5，作AD=AB，交BC延长线于点D，即构造等腰△ABD．
　　由性质得AB2=AC2＋BC?CD.因为AD=AB，所以∠B=∠D.所以∠ACB=2∠B=2∠D.而∠ACB=∠CAD+∠D，所以∠CAD=∠D，即有AC=CD.所以AB2=AC2＋AC?BC．
　　注此题也可利用推论构造等腰三角形求证．
　　
　　图5 图6例4 如图6，已知：△ABC中，AB>AC，AD⊥BC于D，E为BC中点.求证：AB2-AC2=2BC?DE．
　　证明作AF=AB，交BC延长线于点F，由性质得AB2-AC2=BC?CF．
　　因为AF=AB，AD⊥BC，所以BD=DF.所以CF=BF-BC=2BD-2BE=2（BD-BE）=2DE.所以AB2-AC2=2BC?DE．
　　
　　图7例5 如图7，已知：△ABC中，D在BC上，AB2-AC2=BD2-DC2.求证：AD是△ABC的高．
　　证明作AE=AC，交BD于点E，由推论得AB2-AE2=BE?BC，即AB2-AC2=BE?BC．
　　因为AB2-AC2=BD2-DC2，所以BE?BC=BD2-DC2=（BD+DC）（BD-DC）=BC（BD-DC）.所以BE=BD-DC.而BE=BD-ED，所以ED=DC.又因为AE=AC，所以AD⊥EC.所以AD是△ABC的高．
　　注此题也可利用性质构造等腰三角形求证．
　　
　　作者简介:邓文忠，男，1974年出生，中学一级教师，县级名师，主要研究解题教学和数学竞赛，发表论文20多篇.
　　打破常规，整体求值
　　——一道填空题引发的思考
　　甘肃省武威第十中学 733000 陈国玉
　　1 问题的来源
　　期末复习中，模拟试卷中有这样一道填空题：已知方程组x+2y=3
　　2x+y=6，则x＋y= ，x－y= .我问同学们是如何解答的，同学们都说是通过解方程组，先求出方程组的解x=3
　　y=0，再代入求x＋y和x－y中求值.我问不解方程组，可以直接求出结果吗？同学们先是一怔，再仔细观察方程组中各个未知数的系数，恍然大悟：将两个方程相加，可得3x＋3y=9，方程两边都除以3可得x＋y=3；将第二个方程减去第一个方程可得x－y=3.同学们的兴趣突然被激起，课堂氛围一下子活跃了，不禁为这种解法喝彩、叫好，有些同学还跃跃欲试．
　　课后我深思：能否将一般形式的二元一次方程组，不解方程组，通过上述方法，得到x＋y或x－y的值呢？
　　2 问题的解决
　　例1 已知方程组3x-5y=6
　　2x+3y=8 ，求x＋y和x－y的值．
　　显然，将原方程组中的两个方程直接相加（或相减），不可能得到（x＋y）或（x－y）的整数倍，也就得不到x＋y或x－y值．
　　起初，我想在原方程组中的一个方程（或两个方程）中乘以一个适当的数，然而通过相加（或相减）这两个方程来达到目的，但是，这个“适当”的数又如何确定呢？
　　后来我是这样想的：将这个方程组中的两个未知数的和（或差）看成一个整体，在原方程组中，“拼凑”出这个整体，通过解方程组求出这个整体的值．
　　下面就以上例说说这种“拼凑整体法”．
　　解将原方程组变形，
　　得3(x+y)-8y=6 ①
　　2(x+y)+y=8 ②
　　由②×8得， 16（x＋y）＋8y=64. ③
　　由③＋①得，19（x＋y）=70，所以x＋y=7019．
　　将原方程组变形，得3(x-y)-2y=6 ①
　　2(x-y)+5y=8 ②
　　由①×5＋②×2得， 19（x－y）=46，所以x－y=4619．　　3 拓展应用
　　3.1 利用这种“拼凑整体法”解决方程组中的一些求值题
　　例2 已知关于x、y的方程组3x+2y=5a
　　4x-3y=2 的解满足x＋y=4，求a的值．
　　分析将原方程组的两个方程“拼凑”出“x＋y”这个整体，通过解这个方程组求出“x＋y”这个整体的值，然后再利用已知的“x＋y”的值构造方程，解之即可．
　　解将原方程组变形为
　　3(x+y)-y=5a ①
　　4(x+y)-7y=2 ②
　　由①×7得， 21（x＋y）－7y=35a. ③
　　由③－②得，17（x＋y）=35a－2. ④
　　把x＋y=4代入④，得17×4=35a－2，解得a=2．
　　例3 已知关于x、y的方程组x+2y=k
　　3x+5y=k-1 的解x、y的差是7，求k2－2k＋1的值．
　　分析将原方程组的两个方程“拼凑”出“x－y”这个整体，通过解这个方程组求出“x－y”这个整体的值，然后再利用已知的x－y=7的值构造方程，求出k的值代入即可．
　　解将原方程组变形为
　　(x-y)+3y=k ①
　　3(x-y)+8y=k-1 ②
　　由①×8得， 8（x－y）－24y=8k. ③
　　由②×3得，9（x－y）＋24y=3k－3. ④
　　由④－③得，x－y=－5k－3. ⑤
　　把x－y=7代入⑤得，7=－5k－3，解得k=－2．
　　把k=－2代入k2－2k＋1中得，原式=（－2）2－2×（－2）＋1=9．
　　3.2 解决不等式组中待定字母的取值范围
　　例4 若方程组3x-2y=m+2
　　2x+y=m-5的解满足－1＜x＋y＜1，求m的取值范围．
　　分析用“拼凑整体法”求出x＋y值，然后建立不等式组，解之即可．
　　解将原方程组进行变形得，
　　3(x+y)-5y=m+2 ①
　　2(x+y)-y=m-5 ②
　　由②×5－①得，7（x＋y）=4m－27，所以x＋y=4m-277．
　　因为－1＜x＋y＜1，所以4m-277>-1
　　4m-2770，解得a>157．
　　通过对以上题目的思考，首先有利于培养学生的发散思维，有利于提高学生的解题能力和解题技巧；其次还可以说明这样一个道理：数学是一种别具匠心的艺术，数学的奥秘是无穷无尽的，这需要我们去留心观察，去探索，才能开发人的思维，启迪人的智慧．
　　作者简介：陈国玉，男，甘肃武威人，1966年生，大学本科学历，中学高级教师.武威市凉州区骨干教师、“教学能手“、“教科研先进个人”，多次荣获学校“优秀教师”、“优秀班主任”称号.发表30多篇论文，有几百篇辅导学生的文章在多家数学类报纸上刊登.

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