新鲜出炉之八_新鲜出炉
时间：2019-03-12 03:25:12 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
考试时最怕碰到什么题?是难题,还是从未见过的新题?在对考场心态的“破坏力”上,两者的“段位”可谓不分伯仲.本工坊特推出“新鲜出炉”新题系列,拓展同学们的视野,让大家从此不再怕新题!
1.已知手表表盘的圆面半径为,12个刻度等间隔地分布在圆面上.记整点刻度i到整点刻度i+1的向量为(t12+1=t1),则•+•+…+•=.
2. 三位同学合作学习,对“已知不等式 xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围”这一问题提出了各自的解题思路.
甲: 可视x为变量、y为常量来分析.
乙: 不等式两边同除以x2,再作分析.
丙: 把字母a单独放到不等号一边,再作分析.
请参考上述三人的思路,或自行探求其他解法,求出实数a的取值范围.
3. 中国是世界上为数不多的掌握卫星回收技术的国家之一.图1是模拟“卫星回收”中变轨环节(即运行轨迹由椭圆变为抛物线)的设计方案图. 假设卫星回收前运行的轨迹为椭圆+=1(顺时针方向),变轨后沿以y轴为对称轴、M0,为顶点的抛物线返回至降落点D. 现有A(4,0),B(6,0)两个观测点,若卫星在x轴上方的C点执行变轨,为确保在D(8,0)点成功降落,则变轨点C与观测点A,B的距离分别为.
4. 我们把半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x≤0)合成的曲线称为“果圆”(如图2所示),其中a2=b2+c2,a>b>c>0.设点F0是半椭圆+=1(x≥0)的焦点,F1,F2是半椭圆+=1(x≤0)的焦点,A1,A2,B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点,M是线段A1A2 的中点.
(1) 若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程;
(2) 设P是半椭圆+=1(x≤0)上任意一点,求证:当PM取得最小值时,P必在点B1,B2或A1处;
(3) 若P是“果圆”上任意一点,求PM取得最小值时点P的横坐标.
【参考答案】
1. 解析: 此题看似烦杂,实则很有特点. 解题的关键在于找准向量的夹角.
由题意可知,连接相邻整点刻度的线段可构成一个内接于圆的正12边形,各顶点距圆心的距离为,如图3所示. 易知相邻两向量的夹角〈,〉=30°,且=2××sin15°=×.则•=×2×cos30°=×, ∴ •+•+…+•=12××=6-9.
2. 解析: 此题的情景很好地体现了新课程的教学理念.三位同学的思路其实是对解题的提示,化解了题目难度. 解题时要综合三人的思路来寻找解题捷径,此处提供利用变量分离与函数思想解答的过程作为参考.
xy≤ax2+2y2两边同除以x2,得≤a+22,分离变量得: a≥-22+. 设=t,由x∈[1,2],y∈[2,3]得t∈[1,3].设f(t)=-2t2+t=-2t-2+,则当t=1时f(t)max=-1. 根据题意应有a≥f(t)max, ∴ a∈[-1,+∞).
3. 解析: 此题通过新颖的背景,将普通的圆锥曲线交点问题包装成了一个“高科技”问题.因而我们要“透过现象看本质”,还原以下数学特征.
① 若要确保卫星在D(8,0)处成功降落,则降落时卫星运行轨迹(抛物线)必通过此点,由此结合题中条件可求出抛物线方程;
② 变轨即运行轨迹由椭圆转向抛物线,即变轨操作应在两轨迹的交点C处执行,而所求距离就是观测点A,B与该点的距离.
设抛物线方程为y=ax2+,由D(8,0)在曲线上可得0=64a+,即a=-, ∴抛物线方程为y=-x2+. 由题意可知+=1,y=-x2+,结合C点位于x轴上方,可解得C点的坐标为(6,4),∴ AC=2,BC=4. 故变轨点C与观测点A,B的距离分别为2,4.
4. 解析: 此题运用创新手法考查了解析几何的常规问题. “果圆”看似陌生,实则类同分段函数,每一段仍是我们熟悉的椭圆标准方程.
(1) 寻找两椭圆方程间的关系是关键. 由条件可知,F0(c,0),F1(0,-),F2(0,),∴ F0F2==b=1,F1F2=2=1, ∴ c2=,a2=b2+c2=. 所求“果圆”方程为y2+x2=1 (x≤0),x2+y2=1 (x≥0).
(2) 解答这一问的关键在于通过数或形来验证和表述PM怎样取得最小值,有效的方法是借助函数方程思想.
易知M,0,设P(x,y),则PM2=x-2+y2=1-x2-(a-c)•x++b2 (-c≤x≤0). ∵ 1-0,抛物线开口向上,∴ PM2的最小值在x=处取到,此时P的横坐标是.
当>a,即a>2c时,f(x)的对称轴位于区间(a,+∞)内,抛物线开口向上,故PM2在区间[0,a]内递减,∴ PM2的最小值在x=a处取到,此时P的横坐标是a.
由于B1和B2同时位于“果圆”的左右两个半椭圆上,所以由上述讨论可知,第(2)问结论中x=0的情况已经被排除; ∵ M为A1A2中点, ∴ A1M=MA2, ∴ PM2的最小值在A1(-c,0)处也能取到.
综上所述,若a≤2c,当PM取得最小值时,点P的横坐标是;若a>2c,当PM取得最小值时,点P的横坐标是a或-c.
《考考你的眼力》答案
如图所示,将原表格依虚线分成4个小表格。每个小表格中,对角线上的两个符号正好相反,所以空格内应填入向下的箭头。
