[例谈对称法解最小值问题] 周长最小值与对称
时间：2019-01-26 03:31:09 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
引例 苏科版教材八(上)第45页灵活运用第9题： 如图1，点A、B在直线l的同侧，点B′是点B关于l的对称点，AB′交l于点P. (1)AB′与AP+PB相等吗?为什么?
(2)在l上再取一点Q，并连结AQ和QB，那么AQ+QB与AP+PB哪一个大?为什么?
解 (1)AB′=AP+PB.
因为点B′是点B关于l的对称点，所以PB′=PB. 所以AB′=AP+PB′=AP+PB.
(2)AQ+QB>AP+PB.
连结QB′，在△AQB′中，AQ+QB′>AB′，由(1)知AB′=AP+PB，所以AQ+QB>AP+PB.
很多在不同背景下求最小值的问题都要用到这个方法和结论.下面举例说明：
1 背景近似于原型
例1 如图2，AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，若AC=1，BD=2，CD=4，请在直线MN上作一点P，使PA+PB最小(保留作图痕迹)，且PA+PB的最小值为.
析解 由引例知：作点A关于直线MN的对称点A′，连结A′B，交直线MN于点P，所以点P就是要作的点；
因为PA+PB=A′B，所以只要求出A′B即可.过点A′作A′E∥MN，交BD的延长线于点E，在Rt△BEA′中，A′E=CD=4，BE=BD+DE=BD+A′E=BD+AC=3，根据勾股定理得A′B=5.即PA+PB的最小值为5.
2 背景为角
例2 (2008成都) 如图3，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM、ON上确定点B、点C，使△ABC的周长最小.写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点(要求画出草图，保留作图痕迹).
析解 这个问题可以看成两个相同的小问题：一是在直线OM的同侧有两点A、C，在直线OM上找一点B，使得BA+BC最小； 二是在直线ON的同侧有两个点A、B，在直线ON上找一点C，使得CA+CB最小.由引例知：
分别作点A关于直线OM、ON的对称点A′、A″，连结A′A″交OM、ON于点B、C.所以点B、C就是所要作的点.
3 背景为等腰三角形
例3 如图4，已知在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是.
析解 这个问题可以看成直线AB的同侧有两点C、D，在直线AB上找一点E，使得EC+ED最小.由引例知： 作点C关于直线AB的对称点C′，连结C′D交AB于点E，则C′D=CE+DE即为最小值.
连结C′B，易得在Rt△BC′D中，BD=1，BC′=AC=2，由勾股定理得C′D=5.即EC+ED的最小值为5.
例4 (2008黄石市) 如图5，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，P点是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是( ).
A.2 B.2+3 C.4 D.4+23
析解 已知PM+PN的最小值为2，由引例知：点P是点M关于直线AC的对称点D和点N的连线段与直线AC的交点.由点M、N分别是AB、BC的中点，易证点P也是AC的中点.所以AB+BC=2(PM+PN)=4.则有AB=BC=2.在Rt△CNE中，∠C=90°，CN=1，所以CE=32.易证AC=4CE=23.所以△ABC的周长为4+23.故选D.
4 背景为特殊四边形
例5 (2005无锡) 如图6，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；
(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S��△PEF�关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S��△PEF�取得最大值?最大值为多少?
(3)当点Q在何处时，△ADQ的周长最小?求出这个最小值.(须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)
析解 (1)、(2)略；
(3)因为△ADQ的周长为AD+QA+QD，而AD=BC=3，所以求△ADQ的周长最小值就转化为求QA+QD最小值.这个问题可以看成直线BC同侧有两点A、D，在直线BC上找一点Q，使得QA+QD最小.由引例知： 作点D关于直线BC的对称点F，连结AF交BC于点Q，则AF=QA+QD即为最小值且易证△ABQ≌△FCQ.从而知点Q在BC的中点处△ADQ的周长取得最小值.在Rt△ADF中，AD=3，DF=4，由勾股定理得AF=5.即QA+QD的最小值为5.所以当点Q在BC的中点处时，△ADQ的周长最小，最小值为5+3=8.
图6 图7例6 (2008荆门) 如图7，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是.
析解 这个问题可以看成直线AC的同侧有两点M、N，在直线AC上找一点P，使得PM+PN最小.由引例知： 作点M关于直线AC的对称点E，连结NE交AC于点P，则NE=PM+PN即为最小值.连结BD，由菱形的性质易得DC=5.由菱形的轴对称性知点E是边AD的中点.所以易证四边形NECD是平行四边形.所以NE=CD=5.即PM+PN的最小值为5.
例7 (2004年黑龙江) 如图8，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，，且DM=2，N是AC上的一动点，则ND+NM的最小值为.
析解 这个问题可以看成直线AC的同侧有两点M、D，在直线AC上找一点N，使得ND+NM最小.由引例知： 作点D关于直线AC的对称点B(由正方形的轴对称性知点B、D关于AC对称)，连结BM交AC于点N，则BM=ND+NM即为最小值. 在Rt△BCM中，MC=6，BC=8，由勾股定理得BM=10.即ND+NM的最小值为10.
图8 图9例8 如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为.
析解 这个问题可以看成直线MN的同侧有两点C、D，在直线MN上找一点P，使得PC+PD最小.由引例知： 连结AC(由等腰梯形的轴对称性知点A、D关于MN对称)，交MN于点P，则AC=PC+PD即为最小值.由AD=CD，AD∥BC， ∠B=∠BCD=60°，易得∠ACB=∠ACD=∠CAD=30°.所以∠BAC=90°.在Rt△ABC中， ∠ACB=30°，AB=1，所以BC=2.由勾股定理得AC=3.即PC+PD的最小值为3.
5 背景为圆
图10例9 如图10，点A是半圆上一个三等分点，点B是�AN�的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为( ).
A.1 B.122
C.2D.3-1
析解 这个问题可以看成直线MN的同侧有两点A、B，在直线MN上找一点P，使得PA+PB最小.由引例知： 作点A关于直线MN的对称点C(由圆的轴对称性知点C在⊙O上)，连结BC交MN于点P，则BC=PA+PB即为最小值. 连结OB、OC，由题意易得�BC�的度数为90°. 所以∠BOC=90°.在Rt△BOC中， OB=OC=1，由勾股定理得BC=2.即PA+PB的最小值为2.
6 背景为直角坐标系
图11例10 (2007南宁市) 如图11，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A(-2，0)、B(8，0)，以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD.
(1)求C、M两点的坐标；
(2)连结CM，试判断直线CM是否与⊙P相切?说明你的理由；
(3)在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小?若存在，求出点Q的坐标和最小值；若不存在，请说明理由.
析解 (1)易得C(8，10)，M(0，4)；(2)略；
(3)因点C、M是平面内的两定点，连结CM，由勾股定理得CM=10. 所以求△QMC的周长最小值就转化为求QM+QC的最小值.这个问题可以看成直线AB(即x轴)的同侧有两点C、M，在直线AB上找一点Q，使得QM+QC最小.由引例知： 作点M关于直线AB的对称点F，连结CF交AB于点Q，则CF=QM+QC即为最小值.在Rt△CEF中， CE=8，EF=14，由勾股定理得CF=265.即QM+QC的最小值为265.易得直线CF的解析式为y=74x-4.进而得点Q(167，0).所以点Q的坐标为(167，0)、△QMC的周长最小值为265+10.
7 背景为抛物线
图12例11 (2008莆田市) 如图12，抛物线经过A(-3，0)、B(0，4)、C(4，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知AD = AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
(注：抛物线y=ax�2+bx+c的对称轴为x=�-b2a)�
析解 (1)y=-13x�2+13x+4；
(2)在求t值的过程中可得到Q(207，87)，对称轴为x=12；
(3)这个问题可以看成直线x=12 (即抛物线的对称轴)的同侧有两点C、Q，在直线x=12上找一点M，使得MQ+MC最小.由引例知： 作点C关于直线x=12的对称点A(由抛物线的轴对称性知点A、C关于直线x=12对称)，连结AQ，交直线x=12于点M，则AQ=MQ+MC即为最小值. 设经过点A(-3，0)、Q(207，87)的直线AQ的解析式为y=kx+b(k≠0)，把A、Q两点坐标代入解析式得k=841，b=2441.所以直线AQ的解析式为y=841x+2441.易得直线AQ与直线x=12的交点为M(12，2841).所以抛物线的对称轴上存在一点M(12，2841)，使MQ+MC的值最小.8 背景为实际问题
图13例12 (2008深圳) 要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图13所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是.
析解 首先建立数学模型(就是小聪的做法)，把实际问题抽象成数学问题： 可以看成x轴的同侧有两点A、B，在x轴上找一点E，使得EA+EB最小.由引例知： 作点A关于x轴的对称点C，连结CB交x轴于点E，则BC=EA+EB即为最小值.过点B作y轴的垂线，垂足为D，在Rt△BCD中， BD=6，CD=8，由勾股定理得BC=10.即EA+EB的最小值为10. 所以从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10.
评注 只有在对反映对象背景材料的全面认识的基础上，才能深刻领会、把握对象的本质.
作者简介 袁苏春，男，中学高教教师，省骨干教师. 江苏省射阳县实验初中数学教研组长，省级课题《初中数学特长生的形成与培养研究》的主持人，有几十篇论文在省级以上刊物上发表.
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