[巧列方程解决数学问题的探索]巧解一次方程
时间：2019-05-07 03:29:32 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
方程是一种用逆向思维解答实际问题的方法，它对丰富学生解决问题的策略、提高解决问题的能力、发展数学素养有着非常重要的意义。在实际教学活动中，为了追求好的“成绩”，许多教师一味灌输用“算术方法”解答问题，忽视了用方程知识解决问题的能力的培养，更谈不上探索解题的技巧了，严重阻碍学生全面、持续地发展，而且严重影响了学生后续（初中）对方程知识的学习。因此，加强“列方程策略解题”研究显得至关重要，下面，笔者谈谈自己的观点与做法。
一、巧解“鸡兔同笼”问题
我国古代（约1500年前）的数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣味题（“鸡兔同笼”问题）。学生在列方程解题的过程中，虽然能从不同角度列出方程，但缺乏解法对比、引导与归纳，出现解方程思维障碍现象（移项问题或负数问题）。此时，教师要善于引导学生发现规律，并进行解法点拨。例：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？思路分析与点拨：假设有x只鸡，那么就有（35—x）只兔。依据“鸡兔共有94只脚”等量关系，可列出方程：2x+4（35-x）=94，即2x+140-4x=94，等式左边（2x-4x）与右边（94-140）出现负数，运用小学所掌握的知识很难求出x的值。假设有x只兔，那么就有（35-x）只鸡。依据“鸡兔共有94只脚”等量关系，可列出方程：4x+2（35-x）=94，即4x+70-2x=94，等式左边（4x-2x）和右边（94-70）都是正数，运用小学所掌握的知识即可求出2x=24即x=12（兔的只数），鸡的只数：35-12=23（只）。为了促使解方程的思维畅通，避免解题走弯路，可以直接假设动物脚的只数比较多（兔子的脚比鸡的脚多）的为x值。
二、巧解“分数”问题
图解法是解答“分数或百分数”问题最常用的数学思维方法。大部分稍复杂分数或百分数问题通过画线段图变抽象为具体，并且借助线段图很容易寻找出问题与分率（单位“1”已知的题型）或已知量与分率（单位“1”未知且是所求问题的题型）的对应关系，从而实现用“算术法”解题的目的。在解答分数或百分数的过程中，若遇到难以画线段图或画线段图难于寻找到量（问题）与率的对应关系，不妨换个角度思考即采用列方程策略解答问题，可以达到“柳暗花明又一村”的效果。例：小明和小亮各有一些玻璃球，小亮的个数比小明少。若把小明个数的给小亮，小亮的个数就比小明多2个。小明原有玻璃球多少个？思路分析与点拨：从“小亮的个数比小明少”和“若把小明个数的给小亮”中，可以看出这两句只带分率不带单位的语句都是“分数”问题的关键句，又从“比小明少”和“占小明个数的”中，可以断定都是把小明看做“单位1”，且单位1”是所求的问题。因此，可以直接假设小明原有玻璃球x个，那么小亮原有玻璃球就有（1-）x个即x个，小明给小亮的个数就有x个，依据“小亮的个数就比小明多2个”关系句，找出等量关系式即“现有小亮的个数-现有小明的个数=2个”，并列出方程：（x+x）-（x-x）=2即：x+x-x=2；依据乘法分配率逆运算“（+-）x”可以很快求出“x=24”，即小明原有玻璃球24个。
三、巧解“平面几何”问题
将不规则的图形分割转化成几个基本的规则图形，分别计算它们的面积，相加或相减（相加与相减混合）求出不规则图形的面积是解答“平面几何”问题常用的数学思维方法。平移法、割补法、替代法与转化法是求不规则图形的面积常采用的解题方法。大部分几何图形，按照常规方法或特殊方法都能找到解题策略。然而，有个别“平面几何”问题解答时需另辟蹊径，采用列方程策略解答问题，才能达到解题目的。如：用五个相同的长方形拼成右图，经测量，这个大长方形的周长是88厘米，这个图形的面积是多少平方厘米？思路分析与点拨：设小长方形的宽为x厘米，那么小长方形的长就有x，依据“大长方形的周长是88厘米”等量关系，可列出方程：（4x+x）×2=88即4x+x=44，再依据乘法分配率逆运算可求出“x=8”的值；则可求出大长方形的长：3x=3×8=24厘米，大长方形的宽：x+x=8+×8=20厘米，那么大长方形的面积为24×20=480平方厘米。为了拓宽解题思路，也可以设小长方形的长为x厘米，那么小长方形的宽就有x厘米，依据“大长方形的周长是88厘米”等量关系，可列出方程：（3x+x）×2=88即3x+x=44，依据乘法分配律（逆运算），可求出“x=12”；则可求出大长方形的长：12×2=24厘米，大长方形的宽：12×+12=20厘米，大长方形的面积：24×20=480厘米。
四、巧解“立体几何”问题
有些“立体几何”问题的数量关系比较复杂、抽象，若用常规思维习惯（算术方法解）解题，常出现解题很困难甚至无法解答。这时，如果我们改变一下思路，采用方程求解的思想求有关图形的体积，就会得到事半功倍的效果。如图1-1所示，有一块长方形铁皮，利用图中阴影部分刚好能做成一个油箱，求油箱的容积（接头处忽略不计）。思路分析与点拨：解答此题所需要的条件（半径与高）隐藏在图文并茂中，解答的关键是用字母代替题中的未知数，找出已知数与未知数间的相等关系列方程。解：设油桶半径为ｒ cm，则高为4ｒ cm。依图意可列方程并求解：2πｒ+2ｒ=16.56，ｒ×（2+2π）=16.56，ｒ×8.28=16.56，ｒ=2，4ｒ=8。可求油桶的容积：3.14×22×8=100.48cm3。如果把此题的已知条件（能做成一个有盖有底的油箱）改为能做成一个无盖的油箱，如图1-2所示，同理（“方程”求解法）依图意可列方程：2πｒ+2ｒ=16.56，求得：半径ｒ=2，油桶的高2ｒ=4，油桶的容积：3.14×22×4=50.24cm3。
五、巧解“比例”问题
应用正、反比例知识解决问题的常规方法：一、找。读题理解题意，并寻找出两组对应的数据（正比例题型中一般会出现“照这样计算或照这样的速度等”，反比例题型中一般会出现“原来怎么样，现在怎么样”）；二、判。写出两种相关联的量与不变量的关系式，若是比值（商）一定则两种相关联的量成正比例，若是积一定则两种相关联的量成反比例；三、列。假设未知数为x，根据正或反比例的意义列出方程；四、算。解方程，检验并写答语。大部分“比例”问题通常按照常规步骤都能很快求出答案。然而，有部分“比例”问题出现“第二组数据没对应”现象，此时直接假设题中问题为未知数x的值解答很难达到解题的目的，必须寻找巧设问题列方程解答途径。如：工厂原计划每天生产零件120个，45天完成，实际每天多生产30个，这样可以提前几天完成？（用比例解答）思路分析与点拨：此题的问题（提前的天数）与条件（每天多生产的个数）没对应数据，若直接假设提前天数为未知数x，很难找到提前天数所对应的生产零件的个数，解题时应把问句中“提前”删改为：“这样可以几天完成”（实际生产天数），再找出与实际生产天数相对应的实际每天生产零件的个数（120+30=150）。解：设这样可以x天完成。因为：工作效率×工作时间=工作总量，工作总量一定也就是工作效率与工作时间的积一定;所以工作效率和工作时间成反比例。依据“工作总量一定”，可列出方程：（120+30）x=120×45，并求出“x=36”和提前天数45-36=9（天）。同理，若出现问句中求增加部分，解题时应把问句中“增加”（多）或“比……多”文字删掉，假设实际部分为未知数x。
六、巧解“钱数”问题
对于求两个或两个以上未知数的应用题，有些题目按照常规解法（假设一个未知数为x）是无法达到解题目的的。此时，可以采用“消元法”解决问题，即假设两个未知数分别为a和b，并根据等量关系列出两个方程，先设法消去一个未知数使其剩下一个未知数，最后再求出消去的那个未知数。如：小明、小华两人各带了若干钱，如果小明得到小华所有钱的,那么小明共有钱60元。如果小华得到小明所有钱的,那么小华也共有钱60元。小明、小华两人各带了多少元钱?思路分析与点拨：设小明带有钱a元，小华带有钱b元。依据题意可列出方程式：①a+b=60，②a+b=60。若将①式中的各数都扩大2倍，将②式中的各数都扩大3倍，它们就会变成：③2a+b=120，④2a+3b=180。再用“消元法”（用④式减去③式）消去一个未知数——小明的钱数，可求得小华的钱数：2b=60即b=30，把b=30值代入①式中，可列出求小明钱数的方程式：a+×30=60，并求出a=45。若将①式中的各数都扩大6倍，将②式中的各数都扩大3倍，它们就会变成：③6a+3b=360，④2a+3b=180。再用“消元法”（用③式减去④式）消去一个未知数——小华的钱数，可求得小明的钱数：4a=180即a=45，把a=45代入①式中，可列出求小华钱数的方程式：45+b=60，并求出b=30。
总之，遇到难于解决的数学问题时，可指导学生尝试运用“列方程的策略”解决问题，不但能使学生茅塞顿开、轻松破题，并为今后解答抽象、繁难问题打下良好的基础，而且能提高学生灵活运用知识解决实际问题的能力。
