【巧构直角三角形　妙解几何计算题】巧构直角三角形妙求tan15

时间：2019-02-02 03:23:05　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　直角三角形是一种特殊的三角形，它具有许多重要的性质，特别是勾股定理在数学中有着极其广泛的应用.有许多问题，若能根据题设和图形特征，添加适当的辅助线，巧妙构造直角三角形，往往能借助直角三角形的特殊性质迅速找到解题途径.
　　例1某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB
　　=200m，CD=100m，求AD、BC的长(精确到1m，≈1.732)．
　　分析：题设中有AB⊥BC，AD⊥CD，延长AD、BC相交于点E，则可构成Rt△ABE和Rt△CDE．
　　解：延长AD、BC交于点E，在Rt△ABE中，∠A=60°，则∠E=30°，由AB=200，得AE=400，从而BE=＝＝２００．在Rt△CDE中，∠E=30°，CD=100，所以CE=200，从而DE=
　　＝＝１００.所以AD=AE-DE=400-100≈227，BC=BE-CE
　　=200-200≈146．
　　答：AD的长约为227m，BC的长约为146m.
　　评注：若题设中有垂直、直角等条件，通过延长可直接构成直角三角形.
　　例2在△ABC中，∠C=135°，a=,b=2，
　　求c的长．
　　分析：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，可构成Rt△ABD和Rt△CBD．
　　解：如图，作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，因为∠ACB=135°，所以∠BCD=45°.在Rt△CBD中，由a=，得到BD=CD=1，从而在Rt△ABD中，c
　　=＝＝．
　　评注：若题设中没有垂直、直角等条件，通过作垂线也可构成直角三角形．
　　例3如图，∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，P到OA、OB的距离PM、PN分别为2和11，求OP的长.
　　分析：题设中虽没有垂直、直角等明显可构成直角三角形的条件，但“点P到OA、OB的距离PM、PN”本身就隐含着PM⊥OA，PN⊥OB这一条件，延长MP(或NP)与OB(或OA)相交于点C，则又可构成Rt△OCM和Rt△PCN．
　　解：延长MP交OB于点C，由∠AOB=60°，得∠OCP=30°.
　　在Rt△PCN中，∠NCP=30°，NP=11，可得PC=22，从而MC=24.
　　在Rt△OCM中，由∠OCM=30°，MC=24，可得OM=8.
　　在Rt△OPM中，由勾股定理可得
　　OP====14.
　　例4如图，△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB边的中点，延长BC至D，使CD=BC，连结ED，求ED的长.
　　分析：题设中既没有明显的，也没有隐含的垂直、直角等能构成直角三角形的条件，只好另想办法．
　　事实上，连接AD，由等边△ABC，可得∠BAC=∠ACB=60°，再由等腰△ACD，可得∠CAD=∠ACB=30°，从而∠BAD=90°，则可构成直角三角形．
　　解：连结AD，因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠ACB=60°，
　　又因为AC=CD，所以△ACD是等腰三角形，所以∠CAD=∠CDA=∠ACB
　　=30°.
　　从而∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，则△ABD和△AED都是直角三角形.
　　在Rt△ABD中，AD2=BD2-AB2=42-22=12，
　　在Rt△AED中，ED2=AE2+AD2=12+12=13，从而得到ED=.
　　评注：这种构造直角三角形的方法可谓新颖别致.事实上由AC=BC=CD即可判定∠BAD=90°.
　　例5如图，四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形的周长为32，求BC和CD的长.
　　分析：根据题设条件，连BD，可将四边形分成两个三角形，由AB=AD，∠A=60°，可得△ABD是等边三角形，从而∠ADB=60°.又∠ADC=150°，所以∠BDC=90°，则△BCD是直角三角形，再借助方程组的知识，则问题可解.
　　解：连结BD，在△ABD中，因为AB=AD，∠A=60°，
　　所以△ABD是等边三角形，从而BD=AD=8，∠ADB=60°.
　　又∠ADC=150°，所以∠BDC=90°，则△BCD是直角三角形.
　　在Rt △BCD中，设BC=x，CD=y，
　　根据勾股定理有BC2=CD2+BD2，即 x2=y2
　　+64，
　　又由已知BC+CD
　　+DA+AB=32，得 x+y=16．
　　解方程组
　　x2=y2+64，x+y=16.得到x=10，y=6.即BC的长为10，CD的长为6．
　　评注：构建方程(组)也是解几何计算题的一种好方法.
　　
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