[巧用构造思想妙解数学难题]数学解题中的构造思想与方法

时间：2019-01-10 03:22:16　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　一元二次方程是初中数学的重要内容，而构造一元二次方程解题是初中数学的一种思想方法.有些问题，若用常规方法解比较困难，而根据其结构特点，巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系或判别式，不仅能使问题化繁为简，化难为易，迅速找到解题捷径，收到事半功倍的奇效，而且有助于培养和强化同学们的数学迁移能力和化归思想，提高数学思维品质.本文略举几例加以说明，供同学们参考：
　　一、求代数式的值
　　例1实数a，b，c满足b=8-a，c2=ab-16，求a3+b3+c3的值.
　　解：由已知条件得a+b=8，ab=c2+16，
　　a，b可以看做是方程x2-8x+c2+16=0的两根，又因为a，b为实数，
　　所以Δ=（-8）2
　　-4（c2+16）=-4c2≥0，
　　则4c2≤0，得c=0，
　　从而Δ=0，故方程有两相等实数根，
　　所以有a=b=4，c=0，
　　因此a3+b3+c3=43+43+03=128.
　　二、证明代数不等式
　　例2正数a，b，c，x，y，z满足条件a+x=b+y=c+z=k，求证：ax+by+cz＜k2.
　　证明：由a+x+（-k）=0，可知方程at2-kt+x=0必有实数根t=1，
　　从而Δ=（-k）2-4ac≥0，
　　即ax≤k2，
　　同理， by≤k2，cz≤k2，
　　∴ax+by+cz≤k2＜k2.
　　三、解方程组
　　例3解方程组x-y=2z2+xy+1=2.
　　解: 原方程组可转化为x+（-y）=2x・（-y）=z2+1，
　　则x，-y可以看成关于t的一元二次方程t2-2t+z2+1=0的两个根，
　　Δ=（-2）2-4（z2+1）=-4z2，
　　当 z≠0时，Δ＜0，原方程无解，
　　当z=0时，Δ= 0，t1=t2=1，
　　即x=1y=-1z=0.
　　四、证明几何不等式
　　例4如图，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F，求证：AE+AF≥4AB.
　　证明：连AC，设正方形ABCD的边长为a，则由面积SΔAEF=SΔACF+SΔACE，得AE・AF=AF・CD+AE・BC=a（AE+AF），即AE・AF=a（AE+AF），
　　从而AE，AF是方程x2-（AE+AF）x+a（AE+AF）=0的两实根，
　　所以Δ=（AE+AF）2-4a（AE+AF）≥0，
　　得AE+AF≥4a，即AE+AF≥4AB.
　　五、判断三角形的形状
　　例5已知：a，b，c是ΔABC的三边且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断ΔABC的形状.
　　解：将已知等式整理为关于a的一元二次方程a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0，
　　∵a为实数，
　　∴Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）≥0，
　　即-3（b-c）2≥0，
　　∴（b-c）2≤0，
　　则b-c=0，故b=c，
　　将b=c代入原等式整理得（a-c）2=0，
　　∴a=c，
　　从而a=b=c，
　　∴ΔABC是等边三角形.
　　从以上几例可以看出，根据问题的结构特点，巧构一元二次方程，利用根与系数的关系或判别式来解，确实能起到化难为易、事半功倍的作用.

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