[十\极坐标\参数方程与不等式] 参数方程与极坐标互化

时间：2019-03-12 03:26:44　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　一星题：立足概念，夯实基础　　二星题：立足重点，查漏补缺　　三星题：立足难点，提升能力　　　　一星题　　1．极坐标方程（ρ-1）（θ-π）＝0（ρ≥0）表示的图形是
　　（A）两个圆（B）两条直线
　　（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线
　　2．若0＜x＜，求函数y=x2（1-3ｘ）的最大值．
　　
　　二星题
　　3．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为θ=（ρ∈R），它与曲线ｘ＝1+2ｃｏｓα，ｙ＝2+2ｓｉｎα（α为参数）交于点A和点B，则AB＝．
　　4．（1）已知x，y∈R且a，b>0，求证：ax2+2by2≥；
　　（2）已知a，b，ｃ∈R+且ａｂｃ＝1，求证： ++≥．
　　
　　三星题
　　5．已知x，y∈R+ 且+=1，求+的最小值．
　　6．当ａ，ｂ∈R且ａ≠0时，不等式ａ-ｂ+ａ+ｂ≥ａ•（ｘ-1+ｘ-2）恒成立，求实数ｘ的取值范围．
　　7．在极坐标系中，已知点A（，0）到直线ｌ：ρｓｉｎθ-＝ｍ（ｍ＞0）的距离为3．
　　（1）求实数ｍ的值；
　　（2）设P是直线ｌ上的动点，Q在线段OP上，且满足OP•OQ=1，求点Q的轨迹．
　　8．已知圆O的参数方程为ｘ＝2ｃｏｓθ，ｙ＝2ｓｉｎθ（θ为参数），直线ｌ1的参数方程为ｘ＝1+ｔｃｏｓθ，ｙ＝1+ｔｓｉｎθ（ｔ为参数，≤θ≤），直线ｌ2的参数方程为ｘ＝1-ｔｓｉｎθ，ｙ＝1+ｔｃｏｓθ（ｔ为参数，≤θ≤）．
　　（1）已知直角坐标系中，点P的坐标为（-，1），以原点O为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P作圆O的切线，求该切线的极坐标方程；
　　（2）若直线ｌ1与圆O交于A，B两点，直线ｌ2与圆O交于C，D两点，求AB•CD的最值．
　　
　　【参考答案】
　　1． C
　　2．解： ∵ 0＜x＜， ∴ 1-3x>0． ∴ y=x2（1-3ｘ）＝ｘ•ｘ•（1-3ｘ）＝•••（1-3ｘ）≤3=．当且仅当=1-3ｘ即x＝时等号成立，此时函数有最大值．
　　3．（提示：由题意可得，直线的普通方程为x-y=0，曲线的普通方程为（ｘ-1）2+（ｙ-2）2＝4． ∴ 圆心到直线的距离为=， ∴ AB=2=）
　　4．证明：（1） ∵ a，b>0， ∴ 要证原不等式，即证≥（ｘ+2ｙ）2．根据柯西不等式可得＝+（ａｘ2+2ｂｙ2）≥（ｘ+2ｙ）2， ∴ 原不等式得证．
　　（2） ∵ a，b，ｃ∈R+且ａｂｃ＝1，∴ ++=+••（b+c）=+•（ｂ+ｃ）≥2＝．同理可得，++≥；++≥． ∴ ++≥-++-++-+=++≥•＝．
　　5．解：令a=，b=，则x=，y=． ∵ +=a+b=1， ∴ +=•+•＝+. ∵ +［（ａ+1）+（4+ｂ）］≥（a+b）2， ∴ +≥＝. 当且仅当•=•即ｘ＝5，ｙ＝时，+ 有最小值．
　　6．解： ∵ a≠0，∴ ｘ-1+ｘ-2≤恒成立． ∴ ｘ-1+ｘ-2≤min． ∵ ａ-ｂ+ａ+ｂ≥a-b+a+b=2ａ，当且仅当（ａ-ｂ）（ａ+ｂ）≥0时，等号成立，∴ ≥=2． ∴ ｘ-1+ｘ-2≤2．解得x的取值范围是，．
　　7．解：（1）以极点为原点、极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则点A的直角坐标为（，0）. ∵ ρｓｉｎθ-=ρｓｉｎθ-ρcosθ=m， ∴直线ｌ的普通方程为ｘ-ｙ+ｍ＝0. ∵点A到直线l的距离d==1+m=3，又m＞0， ∴ m=2．
　　（2）由（1）得直线l的方程为ρｓｉｎθ-=2．设P（ρ0，θ0），Q（ρ，θ）， ∵ 点P（ρ0，θ0）在直线ｌ上， ∴ ρ0 ｓｉｎθ0-＝2（①）．由OP•OＱ＝１，Ｑ在线段ＯＰ上可得ρρ0＝1，θ＝θ0（②）．将②代入①，得ｓｉｎθ-=2，即ρ=ｓｉｎθ-．这就是点Q的轨迹方程．
　　把ρ=ｓｉｎθ-两边同乘以ρ，得ρ2=ρｓｉｎθcos-ｓｉｎcosθ=（ρｓｉｎθ-ρｃｏｓθ），化为普通方程得ｘ+2+y-2=， ∴ 点Q的轨迹是以-，为圆心、为半径的圆． ∵ 在极坐标系中，ρ==，tanθ==-1．又在直角坐标系中，直线l过第一、二、三象限， ∴ θ为第二象限角. ∴ 在极坐标系中点Q的轨迹是以，为圆心、为半径的圆．
　　8．解：（1）由题意可得，圆O的普通方程为x2+y2=4． ∴圆O是以（0，0）为圆心、以2为半径的圆． ∵ OP＝＝2， ∴点P在圆O上．如图1所示，以直角坐标系的原点O为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P作圆O的切线PM，设M（ρ，θ）． ∵ tan∠POx==-， ∴ ∠POx=，∴∠POM=-θ．又∠MPO=，OP=2，∴ cos∠POM==cos-θ，∴该切线的极坐标方程为ρcos-θ=2．
　　（2）由（1）得圆O的普通方程为x2+y2=4．
　　把直线l1的参数方程代入圆的普通方程，整理得t2+2（ｃｏｓθ+ｓｉｎθ）ｔ-2＝0．设该方程的两根为t1，t2，则AB=t1-t2=＝＝2．
　　把直线l2的参数方程代入圆的普通方程，整理得t2+2（ｃｏｓθ-ｓｉｎθ）ｔ-2＝0．设该方程的两根为t3，t4，则CD=t3-t4=＝＝2． ∴AB•CD=4. ∵ ≤θ≤， ∴ ≤2θ≤， ∴ ≤ｓｉｎ22θ≤1． ∴ 当θ=或θ=时，AB•CD有最大值2；当θ=时，AB•CD有最小值8．
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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