直线与圆经典大题 直线和圆,精彩无“小题”
时间：2019-02-21 03:26:45 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
高考优质试题,往往包含了诸多数学思想和方法,在目标意识的指导下,根据问题的特征展开联想,多角度思考问题,是会有较多的切入点的.下面结合2009年高考数学全国卷Ⅱ中的一道优质试题为例加以说明.
已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1, ),则四边形ABCD的面积的最大值为__________.
扣住四边形ABCD的面积这一目标进行思考.设四边形ABCD的面积为S,由于AC⊥BD,所以S= AC•BD. 求S的最大值,必须引入参数来表示弦长AC和BD,然后设法求S的最大值. 首先,当AC,BD其中一条直线的斜率不存在时,求出其面积S;其次,当斜率存在时,不妨设AC的斜率为k(k≠0),则可得直线AC的方程为y- =k(x-1). 求弦长AC,可以将方程y- =k(x-1)与圆的方程x2+y2=4联立,消去y得到关于x的一元二次方程,再利用弦长公式表示弦长AC,但此法运算量大. 注意到圆的几何特性,充分利用平面几何知识(垂径定理)来求弦长会更简单. 设圆心O到直线AC的距离为d1,则由勾股定理得到AC=2 ,其中d1= ,从而可用斜率k表示AC. 由于AC⊥BD,故直线BD的方程为y- =- (x-1)?摇,进而可得BD关于k的表达式,从而得到S关于k的表达式.
图1
解法1设四边形ABCD的面积为S.
若直线AC,BD其中一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0. 不妨设直线BD的斜率不存在,此时可解得BD=2 ,AC=2 ,所以S= AC•BD=2 .
若直线AC,BD的斜率均存在,如图1,设直线AC的斜率为k,则直线AC的方程为y- =k(x-1),即kx-y-k+ =0. 设点O到直线AC的距离为d1,则d1= ,于是AC2=4(r2-d)= . 因为AC⊥BD,所以直线BD的方程为y- = - (x-1). 所以BD2= . 所以S2=4• • ≤4•+=4×=25,当且仅当3k2+2 k+2=2k2-2 k+3,即k=-2 +3或k=-2 -3时取得等号,所以直线AC的斜率存在时面积的最大值为5. 因为2
