巧用二次函数的轴对称性:二次函数的6种基本图像

时间：2019-02-06 03:24:12　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　抛物线的轴对称性是二次函数的一个重要特征，若能巧妙运用，可使求解变得简洁.请看下面的例子：　　一、求定点坐标　　例1(诸暨市)抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的一部分如图1所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是 ()．
　　A．（，0）B．（1， 0）
　　C．（2， 0）D．（3， 0）
　　解析：依题意，得y＝a(x+1)2+ a2－a+2，则抛物线对称轴为直线x＝－1．从而，点（－3，0）到直线x＝－1的距离为2，所以，点（－3，0）关于直线x＝－1的对称点的坐标为（1，0），选B．
　　评注：由抛物线的轴对称性可知，抛物线与横轴的两个交点到对称轴的距离相等．这就是本题解决问题的突破口．
　　二、代数式求值
　　例2（芜湖市）如图2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是．
　　解析：连接BC交OA于点D，则DC＝DB＝OD＝DA．由已知条件可知，点A的坐标为（0，c），所以点C的坐标为（，），从而有：＝+ c．所以ac＝－2．
　　评注：本题把抛物线的轴对称性与正方形的轴对称性相结合，得出抛物线上的点的坐标，并由此得出等量关系，求未知代数式的值，显得非常巧妙．
　　三、比数值大小
　　例3（临沂市）若A（－，y1）、B（－1，y2）、C（，y3）为二次函数y＝－x2－4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）．
　　A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1
　　C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
　　解析：二次函数y＝－x2－4x+5可变形为y＝－(x+2)2+9，由此可知，抛物线的顶点坐标为（－2，9），对称轴为直线x＝－2；从而可知，点A关于直线x＝－2的对称点的坐标为（，y1），这样，它与B（－1，y2）、C（，y3）都在对称轴的右侧，而抛物线的开口向下，于是，由抛物线的性质可知：y3＜y1＜y2，选C．
　　评注：本题借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点，变换到了同一侧，这样便于利用二次函数的增减性来进行比较．当然，本题也可以用直接求函数值法进行比较．
　　四、求函数值
　　例4（南通市）已知二次函数y＝2x2＋9x+34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2 时的函数值与()
　　A．x＝1时的函数值相等B．x＝0时的函数值相等
　　C．x＝时的函数值相等D．x＝－时的函数值相等
　　解析：易知抛物线y＝2x2＋9x+34的顶点横坐标为－，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则以x1、x2为横坐标的两点关于直线x＝－对称．不妨设以x1为横坐标的点在左，以x2为横坐标的点在右，于是有x2－（－）＝－－x1，所以，有x2 +x1＝－，则当x ＝－时，y＝34．选B．
　　评注：自变量不同时，函数值相等．由此可知，以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．从而，得出这两个自变量的数值关系是本题的突破口．可见，运用轴对称性能巧妙地解决问题．
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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