一堂发展学生思维能力提升学生综合素质的数学课 如何提高数学思维能力
时间：2019-01-26 03:28:56 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
本节课是浙教版《义务教育课程标准实验教科书•数学》八年级下册第五章“平行四边形”第一节“多边形”第一课时的内容.学生在学习了三角形、几何证明的基础上,开始研究四边形.四边形的学习与三角形有着密切的联系,许多四边形的问题都通过连线转化为两个三角形的问题来解决,且研究的方法有许多相似的地方,所以说四边形是三角形的应用和深化；另外在学了几何证明后,平行四边形内容为证明实例提供了丰富的材料,让学生有机会实践、巩固前面的知识.本节课是“命题与证明”学习后的第一节课,是学习后面知识的基础,许多性质仍然采用实验的方法得出,执教者在教学中重视了让学生动手实践和严格证明双落实,能起到培养学生数学思维能力的积极作用.下面是教学过程与相关思考.
1 教学过程
1.1 师生互动,探索新知
(1)温故知新(教师多媒体出示图1的图片)
师：由图1这些图形,你能抽象出什么几何图形？
生1―4：三角形,四边形,六边形,八边形．
师：请思考回答三角形的定义是什么？(学生思考了一会儿)
生5：三条线段连接的图形叫三角形．
生6(补充)：由三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫三角形．
生7(再补充)：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫三角形．
师：你能根据三角形的定义类比出四边形的定义和特点吗？
生8：由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所形成的图形叫四边形.
师：四边形的表示方法一定要按顶点顺序书写.如图2,可表示为四边形ABCD或四边形ADCB．
师：根据图形回答四边形各条边、各个顶点和各个内角．
生9―10：回答四条边,四个顶点,四个内角(略).
评析 从四种几何图形的图片抽象出三角形等图形入手,并在复习学生熟悉的三角形的基础上应用类比的数学思想结合图形得到四边形的概念并理解四边形的有关概念,符合学生的认知,让学生体验了成功的喜悦；既注意了与已学内容的有机联系,还为进一步给出多边形定义设下伏笔.既使学生对图形理解更深刻、全面,还为以后平行四边形的性质判定、后续特殊四边形的学习起到从多角度思考拓宽思路,增强综合能力的作用．
(2)合作探索
师：请大家在练习本上画一个四边形(学生操作画图).
师：你所画的四边形的四个内角和是多少？(学生用量角器测量,计算)
众生：360°．
师：你能验证你的结论吗？(学生沉思)
数学实验
师：拿起你手中的四边形,找出四个内角,并作上记号,请剪下四个内角,把它们拼在一起(四个角的顶点重合),你发现了这四个内角有什么规律？(学生动手操作)
生11：四个内角和等于360°.(教师通过多媒体演示,把左图的四个角剪下并拼成右图的图形,发现为360°)(如图3)
师：我们一起通过观察、猜想、实验得到了命题：四边形的内角和为360°．
师：你能证明这个命题是真命题吗？
评析 动手实验、观察能让学生有一种直观的认识,并经猜想归纳得到四边形的内角和为360°的命题,体现了在自主探索的过程中培养学生的归纳能力的观点.因为数学是一门严谨的学科,命题必须进行证明,又引导学生进入了下一话题：证明这个命题是真命题!
思考证明 (学生思考并在练习本上画图、写出已知、求证.)
师：我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？
众生：三角形,180°．
师：本命题的证明能否把问题化归为三角形来解决？(学生思考)
师：利用手中的一副三角板拼出四边形(图4)(学生动手操作,拼图并观察图形)．
(学生思考并解题4分钟后,教师讲解板书,证明过程由学生回答.)
生12：已知：四边形ABCD.求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
生13：(证明过程略)．
师：我们得到四边形内角和定理：四边形的内角和等于360°,(板书)
符号表示：四边形ABCD中∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°,(板书)
评析 在命题的证明过程中,由于有教师的启发铺垫,添辅助线对于学生来说并不难,因此本题在解决中要注意采用多种思维思考,并注意题后的小结.通过对命题证明的启发过程可以使学生对证明思路的转化更有体会,培养了学生的推理能力,而利用手中的一副三角板拼出四边形,更加强化了学生的实际直观认识．
小组合作
师：学生小组合作探讨出其他至少两种方法：要求有恰当的图形,并简单地叙述解答的思路.(给予学生充足的时间,积极探索,合作交流,教师在下面巡视,给学有所困的小组作好点拨与帮助,学生回答后教师归纳展示)
如图5,在BC边上任取一点O,连结AO,DO,图中三个三角形的内角之和为3×180°=540°,减去平角∠BOC的度数,即3×180°－180°=360°．
生15：如图6,连结AC,BD,图中四个三角形的内角之和为4×180°=720°,减去四边形内周角的度数,即4×180°－360°=360°．
生16：如图7,在四边形内任取一点O,连结AO,BO,CO,DO,图中四个三角形的内角之和为4×180°=720°,减去四边形内周角的度数,即4×180°－360°=360°．
生17：如图8,在四边形外任取一点O,连结AO,BO,CO,DO,图中△OAB,△OBC,△ODC的内角之和为3×180°=540°,减去△OAD三内角的度数,即3×180°－180°=360°．
生18：如图9,过点A作AE垂直BC交BC于点E,过点D作DF垂直BC交BC于点F,则可得AE∥BF,△ABE,△DFC的内角和均为180°加上∠EAD+∠FDA 的180°得540°,减去∠AEB+∠DFC 的和180°,即3×180°－180°=360°．
生19：如图10,过点D作DE∥BC交AB于点E,则∠B+∠BED 的180°得540°,△ABE,△DFC的内角和均为180°加减去∠AEB+∠DFC 的和180°,即3×180°－180°=360°.
生20：如图11,连结CA并延长,在延长线上取一点E,∠EAD=∠D+∠ACD∠EAB=∠B+∠BCA,则四边形内角和=∠EAB+∠BAD+∠EAD=周角=360°．
生21：如图12,延长BC,在延长线上取一点E,连结AE,交CD于点F,得∠BCD=∠E+∠CFE=∠E+∠AFD,则四边形内角和=△ABE与△ADF的内角和之和=360°．
生22：如图13,延长BA,CD交于点E,则四边形内角和=△EBC的内角和+平角∠EAB+平角∠EDC－△EAD的内角和=360°．
评析 上述9种方法为先由学生独立思考,后小组合作探讨所得,开放性问题的设问与解答为学生的思维发展提供了广阔的空间,体现了学生的主动性、自主性和创造性.在学生充分思考的基础上教师鼓励学生敢于大胆质疑,勇于阐述自己的观点,这是探究的有效策略及培养学生良好思维品质的重要途径.
1.2应用新知,体验成功
(1)现学现用
师：已知四边形ABCD中,∠A＝80°,∠B＝60°,∠C=70°,则∠D=_度．
生23：∠D=360°－80°－60°－70°=150°
师：我们来猜一个谜语(出示谜面)：只凭风力健,不加羽毛丰.红线凌空去,清云有路通.(清•吴友如)猜一猜描写的是一项什么活动？
众生：放风筝!
师：我们一起来解答风筝与四边形联系的题目.如图14,四边形的内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1∶1∶0�6∶1,求它的四个内角的度数．
生24：比值法求解 (教师板书求解过程,过程略)．
生25：方程思想方法求解(教师板书求解过程,过程略)．
评析 有了前面练习的经验,对于学生而言,本例的解答应该不成困难,所以放手让学生自行解决,教师只注意学生在解答中的不足及对学生能够进行恰当的小结即可.但要注意本例在知识上主要是四边形的内角及比例的转化两个方面的应用．
(2)体验成功(生26―30共5位学生回答,回答过程略)
第一关：已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,则∠D=度．
四边形最多有 个直角？最多有 个钝角？
第二关：已知四边形ABCD中, ∠A与∠C互补,∠B＝80 °,则∠D＝度．
第三关：在四边形ABCD中,∠B=90°,∠A、∠C、∠D的度数比为1∶3∶5,那么∠A=度,∠C= 度,∠D= 度．
第四关：在四边形ABCD中,已知∠A与∠C互补,∠B比∠D大15°求∠B、∠D的度数.
第五关：如图15,清晨,小明沿着一个四边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步.(1)小明每从一条小路转到下一条小路时,身体转过的角是哪个角？(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少？
师生一起归纳出推论：四边形的外角和等于360°.(板书)
师：结合图形推导四边形的外角和定理：
已知：如图16,分别画出以A、B、C、D为顶点的一个外角,记作∠1,∠2,∠3,∠4,并求∠1+∠2+∠3+∠4的值．
求证：四边形的四个外角和等于360°．
生31：(证明过程略)．
评析 通过练习检测本节目标是否已经达成,在练习中暴露学生的弱点,纠正改错,加强这些方面的指导.这些题组教学和变式训练可使学生时时处在一种愉快的探索知识的状态中,从而充分调动学生的积极性,启发学生的思维,提高学生的解题能力和数学素质.在教师讲解各种方法的基础上,要引导学生进行分析比较重要方法,并进行归类整理,沟通这些方法间的内在联系后教师推荐重点方法．
(3)应用拓展
练习：求如图17,图18两图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
生32∶360°(回答过程略)．
评析应用拓展题教学可以引导学生将问题深化,揭示解题规律,发展学生思维能力,给学生提供充足的探究时间和广阔的探究空间,让学生在探究中享受快乐.通过这样步步深入的练习,可以加强学生对定理的理解和直接应用,引导学生积极参与思维,培养学生分析问题、解决问题的能力．
1.3 小结归纳,提升理念
师：现在请同学们回想一下,今天你有什么收获,又有何感想呢？
生33：这节课我的收获是掌握了一个定义,一个定理,一个推论,并已学会简单应用.
生34：我想进一步研究四边形到底还有哪一些性质．
师：还学了两种重要数学方法：类比转化.
评析 三个“一”(一个定义,一个定理,一个推论),两个“思想”(类比思想、转化思想)简洁明了地对本节课内容进行了总结,便于学生理解掌握,加深了数学归纳能力,起到了在交流中共享,在反思中升华．
1.4 布置作业,课外提高
师：作业本(1)5�1(1)及书本P95―96的作业题．
思考题:探索五边形,六边形,……,n边形的内外角和,你能否发现并找出n边形内外角和的计算规律？
评析 作业分层布置,符合新课程“不同的人在数学上得到不同的发展”要求.思考题把学生的学习延续到了课外,促进了学生的预习,为下节课的顺利引入埋下了一个伏笔．
2 总评
重视自主探索,直观理解几何现象.新课程强调教学过程是师生交流,共同发展的互动过程.在教学中要注重培养学生的独立性,引导学生质疑探究,在实践中学习,使学习成为在教师指导下主动的,富有个性的过程.本节课采用了通过动手剪、动手拼等动手实践进行数学实验的方式,让学生自主探索、直观理解四边形内角和规律的发现,重视学生独立思考和探索能力的培养.在课堂上尽量提供了学生充分自主探索的时间与空间,使学生进一步经历实验、猜测、验证、反思等活动,同时在动手的过程中,丰富了学生数学活动经验与体验,从而激发了学生的学习积极性,体验到了成功的快乐.教师利用学生已有的认知水平和认知经验,对现成的素材作了必要的重组,创设了恰切的活动时空和交流平台,促使学生通过自主探索,相互合作去体验结论的生成．
提供交流合作,形成学习有效策略.本节课提供了许多与同学交流的机会,在与同学交流中学习,通过取长补短,吸收同学意见、修正、完善自己的想法. 让学生小组合作交流探讨出其他至少两种证明四边形内角和为360°的方法,使学生互相启发,逐步形成完整、符合实际的结论,从而体验数学学习有效的策略.相信即使学习相对困难的学生,在同学的帮助、启发下,也会有兴趣参与证明方法的思考及讨论.就这一内容而言,掌握方法(添辅助线)、渗透思想(转化为三角形),与知道结果同样重要,能使学生真正参与到知识发生的过程中去．
重视过程体验,培养学生数学素养. 有些教师在教学中只关注学生会不会使用定理,会不会计算,至于定理的本质是什么,为什么要学习定理,如何发现定理的等一系列问题却不够重视,使这些问题在学生心中永远是一个问号.而本节课教师很好地把握了过程目标与知识技能之间的关系,前半节课侧重过程教学的活动,后半节课侧重知识技能的传授,而不是直接讲授概念知识及技能训练.从短期看,会用定理会计算对教学很重要,而过程教学对学生的影响不能一下子显现,但若干年后,学生对定理的内容可能会彻底忘记,但对定理在探究过程中所培养出来的创新意识、数学素养却会一辈子受用,本节课很好地体现了重视过程教学这一点．
作者简介： 王才洪，男，浙江建德人，1975年8月生，浙江省建德市乾潭初中，中学高级教师；张维忠，男，甘肃天水人，1964年12月生，浙江师范大学教师教育学院教授.
