[六字口诀解决由递推关系求通项] 递推关系

时间：2019-05-05 03:29:22　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　　　　　　　对于一个数列来说，通项公式起着重要的作用，它直接体现了项与序号之间的关系，是研究数列相关性质的最好载体，因此求数列通项公式也成了常考题型之一．其中根据递推关系求通项颇受关注．对于这类问题，教学时，笔者和广大教师一样，师生共同总结了很多的方法，以期学生能较好的解决此类问题．但经过几轮教学实践发现，结果恰恰相反，大量学生“刚学时套用，一段时间后乱用，考试时不用”；“看到了知道，听到了会说，应用时却不知如何下笔”．这说明学生对这些方法只停留在浅层次了解上，缺乏深层次分析应用，“知其名，不能用其形”．为了解决这个问题，在本轮教学中，笔者尝试总结了各类方法的具体操作程序，结合数学基本运算，从具体操作层面入手把这些方法分成了六类，每类分别用一个字概括，通俗易懂，记忆方便，符合《普通高中数学课程标准》中“适度形式化”的要求．这样学生只要记住这六个字，就等于记住了各类方法的操作步骤，大大增强了问题解决的可能性．笔者经过一段时间的检验，发现效果较好．现整理如下，以供大家参考．
　　一．“加”字诀
　　例1．在数列{an}中，a1＝1，且an+1＝an＋n，求数列{an}的通项公式．
　　分析：本题可变形为an+1－an＝n，等式类似于等差数列定义，不同之处在于等式右边不是常数，而是一个可求和的代数式，这种情况可考虑“加”字诀，即再写出几个递推关系来加一下（此法也称为累差法）．
　　解：由已知得，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1．把以上式子相加得，an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)，所以an＝(n－1)n2＋1．
　　二．“减”字诀
　　例2．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an＋1)2，求数列{an}的通项公式．
　　分析：本题是有关Sn，an的关系式，利用“加”字诀显然不能解决．由于当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以我们可以考虑“减”字诀，即再写一个递推关系，然后与条件相减（此法也称为公式法）．
　　解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以有4an＝4(Sn－Sn－1)＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，即4an＝an2＋2an－an－12－2an－1，化简得(an＋an－1)(an－an－1)－2(an＋an－1)＝0，即(an＋an－1) (an－an－1－2)＝0．因为an－＞0，所以an－an－1＝2，令n＝1，得4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1．
　　三．“乘”字诀
　　例3．在非零数列{an}中，a1＝1，且an+1＝annn＋1，求数列{an}的通项公式．
　　分析：本题可变形为an+1an＝nn＋1，等式类似于等比数列定义，不同之处在于等式右边不是常数，而是一个可求积的代数式，所以考虑“乘”字诀，即再写出几个递推关系来乘一下（此法也称为累乘法）．
　　解：由已知得，anan－1＝n－1n，an－1an－2＝n－2n－1，…，a2a1＝12，把以上式子相乘得，ana1＝1n，所以an＝1n．
　　四．“除”字诀
　　例4．在非零数列{an}中，a1＝1，且an－an－1＋2anan－1＝0，求数列{an}的通项公式．
　　分析：本题提供的条件中出现了an与an－1的一次项和乘积项anan－1，没有常数项，用“加、减、乘”都不能解决问题，这时就可以考虑“除”字诀（此法有时也泛称构造法）．
　　解：因为an≠0，所以an－an－1＋2anan－1＝0两边同除以anan－1，得1an－1－1an＋2＝0．即1an－1an－1＝2，所以数列{1an}是以1为首项，2公差的等差数列．即1an＝2n－1，所以an＝12n－1．
　　五．“配”字诀
　　例5．若数列{an}满足，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
　　分析：本题等式右边有常数1，可知{an}不是等比数列，an与an－1前面系数比为1:2，说明{an}又不是等差数列，乘积项anan－1也缺乏，所以这时“加、减、乘、除”都不能解决问题，这时可以考虑“配”字诀（此法有时也泛称构造法）．
　　解：等式an＝2an－1＋1两边同加上1得，an＋1＝2(an－1＋1)，因为a1＋1＝2≠0，所以(an－1＋1)≠0，所以有an＋1 an－1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1．
　　说明：此方法对an＝Aan－1＋B(n≥2)(A≠1，AB≠0)结构的递推求通项有很强的针对性，等式两边可加上一个固定的常数BA－1配成新的等比数列，下面简单证明一下常数BA－1由来．可先在两边同加上常数x，则有an＋x＝A(an－1＋B＋xA)，为了能配成新的等比数列，令x＝B＋xA，解得x＝BA－1．
　　
　　六．“倒”字诀
　　例6．在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．
　　分析：本题为分式结构的递推关系，可以考虑用“倒”字诀，即等式两边同时取倒数．
　　解：因为a1＝1，所以an≠0，等式两边取倒数得：1an+1＝an＋22an＝1an＋12，即1an+1－1an＝12，所以得{1an}是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1an＝n＋12，所以an＝2n＋1．
　　说明：此题也可先通分，观察等式，用“除”字诀解决，即两边同除以anan－1来解决．
　　以上“加、减、乘、除、配、倒”六字口诀虽在解题方法层面上没有创新，但在具体操作上却有较强的实用价值，学生易懂便记、乐于接受，拿到问题能很快的上手．六种操作方式尝试一下，一般都能发现解法．这对解决学生数列学习眼高手低、畏难怕写的情况有很大帮助，同时用口诀的形式来阐述方法和操作步骤，也让学生耳目一新，有利于激发他们的求知欲望，促其归类总结能力的提升，使其对数学的学习产生新的认识．
　　
　　
　　

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