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    【半径与切线】圆的切线垂直于半径

    时间:2019-01-07 03:28:53 来源:柠檬阅读网 本文已影响 柠檬阅读网手机站

      由圆的切线性质和其判定定理可知:(1)若一条直线经过半径的外端点且垂直于这条半径,则这条直线是圆的切线;(2)圆的切线垂直于过切点的半径.   利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时,通常要经过半径来实现,那么怎么来实现呢?下面举例说明.
      一、见半径,证垂直
      即已知条件中直线与圆若有公共点,且存在连接公共点的半径,可直接根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明.
      例1 如图1,AB为半圆O的直径,点C在半圆O上,过点O作BC的平行线交AC于点E,交过点A的直线于点D,且∠D=∠BAC. 求证:AD是半圆O的切线.
      分析:要证明AD是⊙O的切线,因为AB是⊙O的直径,所以只要证明AB⊥AD即可.
      证明:∵AB是半圆O的直径,∴∠C=90°.
      ∵OD∥BC,∴∠AEO=∠C=90°,
      ∴∠DOA+∠BAC=90°.
      ∵∠D=∠BAC,∴∠DOA+∠D=90°,
      ∴ AD⊥OA,∴AD是半圆O的切线.
      二、连半径,证垂直
      即条件中若给出了直线和圆的公共点,但没有给出过这个点的半径,则连接公共点和圆心,然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明.
      例2已知:如图2,A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点,OC=BC,AC=OB.求证:AB是⊙O的切线.
      分析:本题已明确告知“A是⊙O上一点”,因此只需连半径OA,证明OA⊥AB即可.
      证明:如图2,连接OA.
      ∵OC=BC,AC=OB,∴ OC=BC=AC=OA.
      ∴ △ACO是等边三角形. 故∠AOC=∠ACO=60°,从而∠B=30°,∴∠OAB=90°.
      即OA⊥AB,根据“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”知直线AB是⊙O的切线.
      例3 如图3,在△AEF中,∠BAC的平分线AD与△AEF的外接圆⊙O交于D点,过D点作BC∥EF,分别交AE和AF的延长线于点B和点C.
      求证:BC为⊙O的切线.
      分析:要证明BC为⊙O的切线,根据切线的判定定理需要两个条件:①BC要过半径的外端;②BC要与这条半径垂直. 现在BC恰好过⊙O上的一点D,连接OD,条件①就自然具备了,只要证明OD⊥BC问题就会解决. 因为AD平分∠BAC,所以可得DE=DF,根据垂径定理可知OD⊥EF,再利用EF∥BC,可证得OD⊥BC.
      证明:连接OD,∵AD平分∠BAC,∴DE=DF.
      ∵OD为O的半径,∴OD⊥EF.
      又∵EF∥BC,∴OD⊥BC.
      ∵BC过半径OD的外端D?摇,∴BC为⊙O的切线.
      三、作垂直,证半径
      即已知条件若没有给出直线和圆的公共点,则过圆心向这条直线引垂线,然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明.
      例4 如图4,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC. 求证:CD是⊙O的切线.
      分析:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线. 也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理. 欲证明CD是⊙O的切线,只要证明∠ODC=90°即可.
      证明:连接OD.
      ∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.
      ∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.
      又∵OB=OD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.
      ∴∠OBC=∠ODC.
      ∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.
      ∴∠ODC=90°.
      ∴DC是⊙O的切线.

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