基于响应面模型法的地下综合管廊结构优化方法研究
时间：2022-12-10 10:00:06 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
冯宇韬，李维滨**
(1.东南大学 混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室，江苏 南京 210096；
2.东南大学 土木工程学院，江苏 南京 210096)
综合管廊（utility tunnel）是一种城市地下空间的综合开发方式，通过一个隧道空间将城市运行所需的电力、通信、燃气、供热、给排水等各种物资运输归集；
实现对城市地下空间的综合利用开发[1-4].综合管廊在城市运行中占据着重要的地位，因此学者也将其称为生命线工程（lifeline engineering）.中国综合管廊建设起步较晚，在修建时常使用多舱体、大截面的形式[5-7].
随着综合管廊结构均趋于大型化、复杂化，结构设计问题逐步演变为多目标优化问题，形成了新的技术挑战.林鹏等[8]认为传统式基于经验对方案进行反复试算的迭代手段已经不能满足工程设计的效率需求.引入合理的模型与有效的算法，提高设计过程中优化的效率是结构设计的未来发展方向.
合理的采样方法和近似模型可以将复杂的具体问题抽象为重要参数与设计目标之间较为简洁的数量关系.在结构设计领域，拉丁方采样与响应面近似模型有着广泛的运用[9-14].Chen 等[15]基于拉丁超立方采样（Latin Hypercube Sampling，LHS）和响应面模型（Response Surface Model，RSM）对六韧带手性蜂窝结构（hexachiral structure）的自振频率进行了优化.Chai 等[16]验证了响应面模型分析静定桁架的有效性，并提出了可以逼近静不定桁架的有理函数基响应面模型.罗琪等[17]采用拉丁超立方采样方法和高斯随机过程回归模型，研究了钢木混合结构的自振周期与刚度比之间的关系.王成洋等[18]基于响应面模型研究了挡土墙失效模式，得到了优于单一失效模式的结果.利用算法进行求解是结构优化设计的重要步骤.陈逸杰、陈俊岭等[19-20]针对钢混组合式风电机组塔分别提出基于粒子群算法和改进遗传算法的优化结构设计方法，实现了结构性能和造价的多目标优化.黄明华等[21]基于遗传算法对太阳能烟囱发电站进行了结构优化，优化后实现成本提升2.47 倍的同时输出功率提升3.91 倍.
本文在已有研究成果的基础上，依据工程经验提出了一种地下综合管廊结构优化设计方法，并依托某管廊设计过程对该方法进行了验证.该方法基于有限元分析确定力学响应指标.采用优化拉丁方抽样（Optimized Latin Hypercube Sampling，OLHS）建立响应面模型，并评估了抽样方法的合理性.基于响应面模型建立考虑配筋的综合管廊设计优化模型，模型以管廊的结构参数作为设计变量，以管廊综合造价作为目标函数.采用遗传算法和非线性优化2 种方法求解优化模型，得到结构的最优化方案.
在对复杂非线性结构体系进行优化设计时，首先确定结构的输入参数和控制输出结果，进而建立起设计变量与输出变量之间的有效模型，基于该模型进行多目标的优化.本文采用响应面模型建立起设计变量（结构尺寸）与中间变量（结构内力）之间的数量关系.之后在优化模型中建立中间变量与目标函数（综合造价）之前的数量关系；
最后采用优化算法求解受目标函数和边界条件控制的设计变量的最优解.
1.1 响应面法响应面模型是一种运用简单表达式（通常为四阶以下多项式），拟合自变量与应变量之间的函数关系，从而构建近似模型的方法.该方法采用简单多项式替代复杂模型，极大缩短分析时间，在机械、材料等诸多优化设计领域均有广泛运用[10].本文采用二阶响应面模型：
式中：xi（i=1，2，···，t）为设计变量，本文中为综合管廊结构的顶板、底板、中板和侧壁的厚度；
表示响应面拟合函数的结果，本文中为中板、底板、侧壁的最大弯矩和轴力；
a0，ai，aii，ai j为响应面模型的待定系数，由最小二乘法求解确定.
选取决定系数（R2）和均方根误差（RMSE）2 个指标作为度量响应面模型精度的参数[19]，表达式为：
式中：yi为第i个样本的真实值，为y序列的平均值，为所得响应面模型的预测值；
q为样本点个数.在样本空间内，当取得较大的R2和较小的RMSE时，表面响应面模型有较好的拟合精度.
1.2 试验设计方法由于设计变量与响应结果之间的关系是未知的，需要以试验设计的方法，在设计变量的预设区间内进行采样，构建以结构尺寸为自变量，结构力学响应为应变量的样本空间，在这个样本空间进行响应面模型拟合，得到结构尺寸与结构力学响应之间的响应面模型[22].本文采用了全因子全尺度（Full Factorial Design，FED）、拉丁超立方(LHS)、优化拉丁超立方（OLHS）3 种试验设计方法进行采样.
全因子全尺度（FED）方法是最常见的试验设计方法，该方法将所有因子的所有水平的所有组合都列为抽样点，是所有试验设计中抽样最多的方法（如图1(a)所示）.本文以FED 采样方法得到的样本点作为响应面模型精度评价的检验点.
图1 试验设计采样空间示意Fig.1 Design of experiment schematic diagram
拉丁超立方抽样（LHS）是在保证正交的情况下减少同一因子在同一水平的抽样次数.但最终需要保证每一因子在每一水平均有样本点.LHS 方法可以在实现有效空间覆盖的情况下极大减小所需样本点数量；
该方法的不足在于无法保证样本点在样本空间均匀分布（如图1(b)所示）.
优化拉丁超立方抽样（OLHS）是对拉丁超立方抽样的改进，该方法首先将各随机变量划分为等概率的区间，实现对样本空间的均匀划分，从而保证采样点等概率地分布到整个采样空间中（如图1(c)所示）.
1.3 多目标优化模型与流程对多个子目标同时求解最优解的问题为多目标优化问题，实际的工程优化问题大多属于这一范畴.不同目标之间常可能是相互影响甚至是矛盾的，某子目标的改善可能引起其他子目标的劣化，因此同时达到每个子目标的最优几乎是不可能的，故在实际优化中需要对多目标进行比较，并进行权衡和折中.多目标优化问题的一般数学表达式为：
式中，X表示一个p维的设计变量，分别表示第k个设计变量的上下限；
fi(X)表示第i个目标函数；
gi(X)表示第j个约束函数.
在多材料、多目标的优化问题中，可以按照如下步骤求解：
步骤 1根据实际问题，确定优化目标、设计变量以及变量空间范围.
步骤 2利用优化拉丁方等试验方法，在样本空间内生成构建近似模型所需要的样本点，对每个样本点递交有限元仿真计算，得出该点的控制响应数据，用以建立响应面模型.
步骤 3建立响应面模型，评价近似模型的精度，验证近似模式替代有限元模型的可行性.
步骤 4基于响应面模型建立优化模型，对优化模型进行求解，最终得到该优化问题的最优解.
具体优化流程如图2 所示.
图2 优化设计流程图Fig.2 Optimization design flow chart
2.1 有限元模型及设计变量的选取工程场地内各土层土类别，层厚H（m），力学物理参数性能重度γ（kN/m3）、黏聚力c（kPa）、内摩擦角φ（°）见表1.
表1 土层参数表Tab.1 Soil parameter
使用abaqus 软件建立二维综合管廊截面模型.综合管廊是细长型建筑物，纵向尺寸较长，横向相对尺寸小，符合平面应变问题的基本假设.采用平面应变单元模拟土体.
有限元模型土层顶面选取至地面，水平向土体的宽度自结构侧壁起算，在结构两侧各取结构有效宽度的3 倍，深度方向从结构底板迎土侧起算不小于结构有效高度的3 倍.计算模型土体总宽取27 m，竖向总高度15 m.其中，结构上覆土厚1.9 m，自结构下底板起算剩余10 m.
地下综合管廊为宽9 m，高8 m 矩形截面，顶板埋深1.9 m，材料采用C40 混凝土，弹性模量为32.5 GPa，泊松比为0.2.综合管廊采用梁单元建模，原始方案中各设计变量尺寸均为600 mm.
对于综合管廊所处的区域，对土体网格进行了加密.采用生死单元模拟土体开挖和回填的过程，结构与土体之间的相互作用采用粗糙接触进行约束.
计算得到土体位移如图3(a)所示，从该图中可以看出，综合管廊施工后，由于开挖区域的强度减弱，使得周围土体向中心沉降，形成云图中蓝色的沉降槽区域.基坑底部的土体则受到周围土体的挤压，出现隆起.分析结果与实际工程中长条形基坑开挖后的变形情况相符.
原始方案模型计算得到结构弯矩如图3(b)所示.由图3(b)可知，此类型的多舱管廊结构，最大弯矩可能出现在底板、侧壁底边和中板中点3 个位置，选取这3 个位置作为该结构设计的控制点.控制点处的力学响应，主要受到顶板、中板、底板和侧壁厚度的影响，将这4 个变量确定为优化模型的设计变量.要直接得到上述设计变量与控制点力学响应之间的函数关系比较困难.采用响应面模型拟合二者之间的联系，可以缩短计算时间、提高优化效率.
图3 有限元模型及计算结果Fig.3 Finite element model and result
2.2 响应面模型与精度评价根据前文所述方法，采用全因子全尺度采样方法建立的基准样本空间1 个（共625 个样本点）.根据式（1）可知，对于m个变量二阶响应面模型，其待定系数（式（1）中a0,ai,aii,ai j）的数量和求解这些待定系数所需的最少样本点数均为本文所采用的4变量二阶响应面模型所需最少样本点数为15.采用拉丁超立方和优化拉丁超立方方法建立7 组不同采样水平的样本空间.采样点数量分别为1N，1.05N，1.5N，2N，4N，8N，20N.
目前常用的响应面模型（RSM）精度评估方法是用得到的响应面模型预测采样的样本空间内的各个样本点.本文用该方法得到各响应面模型的评估精度情况如表2 所示.该方法将响应面模型结果与产生的采样空间内的样本点进行比较，为了把这种方法和将响应面结果与基准样本空间内样本点比较的方法相区别，将其称为自评估精度.
表2 中的结果表明，采用2 种采样方法建立的响应面模型，在样本点比较少时，响应面模型自评估精度很高；
当样本点数量为N时，拟合结果的确定系数达到1，均方根误差接近0.随着样本点的增加，响应面模型与采样样本之间的误差增大，确定系数减小.在采样点数量超过2N后，响应面模型的精度不再受采样数量的影响.
表2 响应面模型自评估精度Tab.2 The response surface model self-evaluates accuracy
为进一步评估响应面模型的精度，将2 种采样方法得到的响应面模型对全因子全尺度采样得到的样本空间进行验证，得到响应面模型的相对精度，如表3 所示.
从表3 中可知，样本点较少时，响应面模型R2出现小于0 的情况.根据式（2）可知，R2小于0 表明该组预测值与真实值之间的误差要大于真实值与平均值之间的误差，即采用该模型进行预测的准确性不如直接使用样本均值作为预测值；
此时二维响应面模型完全失效，无法对优化设计所需空间进行有效预测.
根据表3 的结果可以发现，当样本点小于2N，采样方法对响应面模型精度影响较大.此时，优化拉丁超立方方法得到的样本点比拉丁超立方法更为均匀，模型的精度更高.
表3 响应面模型相对精度Tab.3 The response surface model accuracy
随着样本点数量的增加，拉丁方采样获得的样本点在空间中的分布也趋于均匀，优化拉丁方采样的优势不显著.
样本点数量从N增长到4N，2 种方法的均方根误差减小分别为91.13%和95.38%，在采样点数从4N增加到20N，两种方法均方根误差变化不超过5%.因此，采用4 倍最小样本数量（60 点）的优化拉丁法试验进行采样，是构建响应面模型兼顾效率与准确性的最优方法.
以4N个样本点的优化拉丁方采样方法建立3 个控制点处的弯矩与轴力，以及结构的最大应力的响应面模型，各变量组合和对应的待定系数（式（1）中a0,ai,aii,ai j），模型各系数如表4 所示.
根据表4 中的响应面模型，可以计算得到原始方案的控制点弯矩，将该结果与图3(b)中的弯矩结果进行对比见表5.
根据表5 结果可以看出，响应面模型计算结果与有限元模型的计算结果相对误差不超过15%；
中板位置为弯矩最大点，该点误差仅为-1.65%，说明响应面模型能够有效地替代有限元模型.
表5 力学响应结果比较Tab.5 Comparison of mechanical response results
2.3 目标函数与优化模型对于单一材料或材料性能比较接近的优化问题，只需要选取唯一变量作为目标函数就能获得比较好的优化结果；
然而对于钢筋混凝土结构，由于钢筋和混凝土在性能和价格上均有较大差异，如果仅把力学性能或质量、体积作为优化目标，得出的结果势必是小截面高配筋率.这种结果在性能、造价、施工方面都是不合理的.目前常用的方法是将结构的综合材料价格作为目标函数，以材料的价格作为调整因子建立的目标函数，可以对结构的用钢量进行有效限制.
为了保证结构的安全性和合理性，还需要对结构的尺寸、配筋、应力等物理力学因素建立约束条件.
最终建立优化模型如式(5)所示.
式中，Cc为 混凝土单价（元/m3），xi为截面总高度（m），也就是待优化的设计变量，b为截面宽度（m），截面计算长度取1 m，故省略，Cs为钢筋单价（元/m3），Asj为由配筋约束确定的配筋截面积（m2），为钢筋的长度（m），本例中简化取结构的外尺寸.式（3）为优化设计变量的尺寸约束，式（4）约束计算配筋量处于合理区间，式（5）约束混凝土应力不超过规范中的混凝土抗压强度标准值.
根据经验，地下结构各构件厚度都有一定限制；
若尺寸过大，则浪费材料，若尺寸过小，则安全、抗裂、防水等性能均难以保证，取4 个设计变量尺寸约束条件如表6 所示.
表6 尺寸约束Tab.6 Size constraints
以响应面模型得到3 个控制点位置的弯矩和轴力为基础，通过计算，可以得到控制截面的配筋.中板、侧壁和底板均可按照大偏心压弯构件进行配筋，采用对称配筋，即As=As′.取偏心距如式（6），式中M/N为初始偏心距.ea为附加偏心距，按照规范取20 或截面最大尺寸的1/30.x为截面总高度，也就是待优化的设计变量，a为保护层厚度，因结构所在环境属于3 类环境，取保护层厚度为40 mm.
式中fc为混凝土强度，b为计算宽度，取1 000 mm，h0=1 000x-a.
根据材料本身的特性，混凝土材料为C35，钢筋为HRB400，约束截面配筋率在最小配筋率（0.518%）与最大配筋率（2.4%）之间.顶板按照最小配筋率计算配筋.
2.4 模型求解与分析为了验证优化模型的鲁棒性，避免收敛于局部最优解，使用非线性规划和遗传算法2 种方法对优化模型进行求解[21-22].结果如表7 所示.
表7 优化结果Tab.7 Optimization results
分析表7 中结果可知，对于2 种求解方式得到的结果，顶板主要受到边界条件的尺寸约束，而中板、底板和侧壁则对目标函数优化起主导作用，与实际设计中的情况相符.
两方案误差最大为6.12%，最大误差出现在底板，方案1 底板厚度增加25.91 mm 的情况下，实现侧壁和中板厚度分别减小21.06 mm 和11.54 mm；
从而实现对目标函数综合造价的减少；
而从结构受力情况，顶板所承受的方案1 更为合理.
将2 种优化方法得到的解带入建立的响应面模型和有限元分析模型，得到目标函数和控制点力学响应结果如表8 所示.
表8 方案对比Tab.8 Scheme comparison
由表8 中的结果可知，2 个优化方案的目标函数值（综合造价）分别为9 335.54 元/m 和9 351.65元/m，与原始方案综合造价12 890.44 元/m 相比，分别下降了27.58%和27.45%.2 种方法求解结果较为接近，模型鲁棒性好.
优化得到的3 个控制截面的弯矩分别为252.66、255.52 kN·m 和475.63 kN·m，与原方案相比分别下降45.10%、45.72%、24.40%，优化效果明显.
表8 中的响应面模型结果与有限元分析结果非常接近；
方案1 两种方法最大误差13.83%，方案2 最大误差12.62%，均未超过14%；
再次验证了采用响应面模型替代有限元分析过程是有效可行的.
针对地下综合管廊结构，本文基于有限元方法与响应面模型，提出了一种适用性较高的优化方法，并给出了计算实例，得到以下结论.
（1）根据有限元结构分析中正负弯矩最大值结果，确定文中结构的优化控制点为中板、侧壁、底板.优化结果表明，控制点位置处设计变量最终结果受到目标函数（综合造价）控制，而非控制点位置处（顶板）设计变量最终结果则受到边界条件约束.
（2）采用非线性规划和遗传算法2 种方法对优化模型进行求解，2 种方案得到的结果高度重合.最优化方案的目标函数值与原始方案相比，下降了27.58%.控制截面弯矩与原方案相比分别下降45.10%、45.72%、24.40%，因此本文提出的优化模型具有很好的鲁棒性.
（3）研究了采样点数量对响应面模型精度的影响，结果表明，当采样点数量从1N增长到4N，2种采样方法得到的模型的均方根误差分别减小91.13%和95.38%；
当采样点数量从4N增长到20N，模型均方根误差变动不超过5%，因此，综合考虑模型精度和计算效率，采用4N作为样本点数量是最为合理的.
（4）比较优化后结构的响应面模型与有限元分析结果，响应面模型计算的各项指标与有限元计算结果的误差均小于14%，采用二阶响应面模型能很好地替代有限元分析的过程.
（5）对拉丁超立方采样和优化拉丁超立方采样方法的精度进行比较.结果表明，采样点较少时优化拉丁超立方采样方法优于拉丁超立方采样方法；
采样点超过2N时，2 种方法区别较小.
