从“两点如何相加”谈起(上):坐标上两点相加
时间：2019-04-13 04:23:49 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
1 引言 长度可以相加，面积也可以相加。几何图形中的两个点能不能相加呢？ 这个怪问题有来头，它是德国著名的数学家和哲学家莱布尼兹提出来的。 莱布尼兹为什么要提出这样的问题呢？
他想，几何图形的基本元素是点，点可以用字母表示，字母又能代替数进行代数运算。如果点也能像字母那样进行运算，就有可能通过对几何图形中的点用代数运算的方法来研究图形的几何性质了。
学了数轴的知识就知道：数轴上每个点都代表一个数，反过来每个数都可以用数轴上的一个点表示。数能相加，是不是就说明代表数的点也能相加呢？点和点相加的结果又会是什么呢？
我们做一些实验来探索这些问题。这种实验可以用纸和笔来做，如果你想得清楚甚至可以在头脑里做。如果有条件，最方便的还是在计算机上做。
2 探索两点相加的意义
如图1，数轴上有几个点。让我们对照图形思考，研究两个点如何相加。
图1 A+M=B对不对呢？
在这条数轴上，点A表示3，点M表示5，点B表示8。既然3+5=8，可不可以认为A+M=B呢？
这个想法好像有道理，但是为了确认正确，还是多实验几次。
当原点O的位置改变，这时出问题了。
如图2，尽管A，M，B三点没有动，但由于原点改变了，它们代表的数变了，现在A+M=B肯定不对了，看来回答莱布尼兹提出的问题有一定难度。
图2 A+M=B肯定不对了
能不能找到点所表示的数之间的运算关系，使得不论原点如何移动，这关系都成立呢？
我们继续实验、思考、探索，并换一个角度看看。
当A，M，B在数轴上的位置如图3所示时，发现一个等式：B－M=M－A。
图3 这时应当有B－M=M－A
这个等式和刚才的A+M=B不同。在图3的情形下，无论原点如何改变，仍然有B－M=M－A，如图4。
图4 无论原点如何改变仍有B－M=M－A
想想其中的道理，便会相信：即使改变了原点的位置、数轴的方向或者数轴上单位长度的大小，总有B－M=M－A。道理很简单，因为M是线段AB的中点，A到M与M到B这两段的距离和方向都相同！
但是，莱布尼兹问的是两点相加，现在找到的等式是两点相减，不是答非所问吗？再思考下去，加和减是可以相互转化的，把好不容易得到的等式B－M=M－A通过移项，能得到A+B=2M，也就是说，我们可以规定：
两点A与B之和是线段AB中点的2倍。
这个规定从数轴上看是合理的，在平面坐标系里看会不会合理呢？
如图5，当A，B的位置改变时，无论看横坐标还是纵坐标，线段两端点坐标之和总是中点坐标的2倍。
图5 在平面坐标系里看A+B=2M也是合理的
进一步思考探索，等式A+C=B+D有什么意义呢？
设线段AC的中点为M，BD的中点为N，由前面探索得到的方法知，A+C=2M，B+D=2N；从A+C=B+D能推出2M=2N，从而M=N。这表明线段AC和BD的中点是同一个点，即两条线段相互平分。
将A+C=B+D移项可得到A－D=B－C和A－B=D－C，若从几何图形上看，这两个关于点的等式又是什么意思呢？
如图6，观察字母之间的加减关系所包含的几何意义。
图6 探索A－B=D－C的几何意义
观察的结果，你很容易看出AB与DC平行且相等，这也就是A－B=D－C的几何意义。同样的道理，A－D=B－C的几何意义是AD与BC平行且相等。总之，ABCD是平行四边形。
于是，将A+C=B+D移项得到A－D=B－C和A－B=D－C这一番代数运算，翻译成几何语言就是：
若AC和BD相互平分，则ABCD是平行四边形。
反过来，将A－D=B－C或A－B=D－C移项得到A+C=B+D，翻译成几何语言就是：
若ABCD是平行四边形，则AC和BD相互平分。
看，用代数运算代替几何推理，多么简洁明快！
但这点成果来之不易，是因为我们通过实验探索发现了对两个点相加的合理说明，也可以说是合理的定义。
这定义和中点有关，用它解决涉及中点的几何问题很方便。
3 “两点相加”初露锋芒
下面看几个例子。
【例1】 如图7，四边形ABCD的四边中点顺次为E，F，G，H，探索四边形EFGH有什么特点？
图7 四边形的四边中点构成的四边形
【解】从图上看像平行四边形，如何能够令人信服地说明这个论断呢？
方法1 利用点的相加，有
A+B=2E，C+D=2G，两式相加得A+B+C+D=
2E+2G；
B+C=2F，A+D=2H，两式相加得B+C+A+D=
2F+2H。
于是E+G=F+H，所以EG与FH相互平分，推出EFGH是平行四边形。
注意，上面我们用了类似代数运算的方法证明了一个几何论断。
在这里，我们默认了A+B+C+D=B+C+A+D，也就是点的加法满足交换律和结合律，还默认了等式的传递性，以及从2E+2G=2F+2H可以推出E+G=F+H。这些本来是数字与符号的运算性质，为何也适用于点的加法呢？这不能想当然，要想想其中的道理。
原来，点的加法本是联系着数轴上和坐标系中的点所对应的数的加法而引进的运算，于是它继承数的运算规律也就不足为奇了。
方法2 利用减法，有
从A+B=2E，B+C=2F，两式相减（消去了B）得A－C=2E－2F；
从A+D=2H，C+D=2G，两式相减（消去了D）得A－C=2H－2G。
于是E－F=H－G，所以EF与HG平行且相等，推出EFGH是平行四边形．
【例2】 A，B，C，D，E，F，G，H是任意8个点，分成4组，每组2个点，连成4条线段，4条线段的4个中点又分成2组，每组2个点，连成2条线段，2条线段的2个中点连成1条直线。这样由于分组不同，连成的不同直线可能有很多（我们估计有800多条），请你作出几条，猜想这些直线有什么特点？ 图8 探索分组连线作中点产生的直线的特点
图8中用不同的分组方法产生了3条直线。你一眼就看出来三线共点。这是不是偶然？若在计算机上作出这8个自由点并拖动观察，你会发现，三条虚线总是交于一点！
这样任意分组作出的几百条直线难道都交于一点吗？是不是有点不可思议？这个问题留给你进一步思考。按照两点相加的意义想下去，你会发现，不论如何分组，最后得到的两点连线的中点的8倍总等于8个自由点之和！这就是全部奥秘之所在。
例2说的是8个点，如果是3个点或5个点，有没有类似的规律？你不妨作图探索一番。
【例3】 若AB和AC的中点分别为D和E，探索线段DE和线段BC有什么关系？
如图9，通过作图观察你发现了什么？
图9 通过作图观察你发现了什么？
如果你有所发现，这发现很容易从点的相加的性质推导出来：A+B=2D，A+C=2E，两式相减（消去了A）得B－C=2（D－E），这表明直线BC和DE平行，并且线段BC的长度是DE的两倍。
4 “点的加法”的一般情形
上面几个例子都涉及中点，如果涉及三等分点或五等分点，能不能用点的加法表示和推导呢？
如图10，思考如何用点的加法表示A，B和M之间的关系？
图10 如何用点的加法表示三个点之间的关系？
有了前面的经验，我们现在知道，可以从减法寻求突破。
不论原点的位置如何变化，总有M－A=2（B－M）。移项整理把减法变成加法，得到A+2B=3M。
现在知道，对于本文最开始讨论的图1中的三个点，不论原点的位置如何改变，总有3（M－A）=2（B－M）。移项整理把减法变成加法，得到3A+2B=5M。
图11 不论原点的位置如何变化总有3（M－A）=2（B－M）
新的套路被你发现了：
A+2B=3M可以表示M是线段AB的一个三等分点，且AM=2MB。
3A+2B=5M可以表示M是线段AB的一个五等分点，且3AM=2MB。
你会猜想到，当m+n不为零时，等式mA+nB=（m+n）P可以表示P是线段AB上的一个m+n分点，且mAP=nPB。
想一想，m和n不是整数可以吗？是负数可以吗？多画些图做实验，你可以自己得出结论。
若把三个点放到坐标系里看，如图12，再把A+2B=3M写成M=■，并把等式中的点的名字换成它的横坐标或纵坐标，不就是定比分点公式吗？而且公式更简洁，更便于推导了。
图12 A+2B=3M不就是定比分点公式吗？
我们从“点的相加”开始探索，结果不得不引出“点的倍数相加”。在类似于A+2B=3M或3A+2B=5M这样的等式中，对每个点所赋予的系数还有更多的意义吗？
如图13，杠杆左端是一个球，右端是2个同样的球，如果忽略杆和线的质量，使杠杆能够平衡的支点，应当满足条件AM=2MB，这正是刚才探索得出的A+2B=3M的意义。而M的系数3，正好表示这个支点所受的力相当于3个球的质量。
图13 每个点所赋予的系数还有物理意义
从这个角度看，几个点分别乘上系数加起来，相当于求一组质点的重心。点的位置就是质点的位置，点的系数就是质点的质量，相加后得到的点的位置就是这组质点的重心的位置，其系数就是所有这些质点的质量之和！所以，这种研究几何的方法，叫做“质点几何”的方法。
（待续）
张景中院士简介
计算机科学家、数学家，中国科学院院士。
1936年生于河南开封。1959年毕业于北京大学数学力学系。1995年当选为中国科学院院士。现为广州大学教育软件研究所名誉所长、中科院成都计算机应用研究所名誉所长，中国科普作家协会名誉理事长，中国高等教育学会教育数学专业委员会名誉理事长。
多年从事教学和研究工作，主要成就有：一、提出和实现了定理机器证明的数值并行方法；二、提出教育数学的概念和理论，对几何三角体系和微积分入门教学体系的改革提出新的方案；三、把多年来在教育数学研究中所发展的几何新方法用于机器证明，提出消点思想，创建了几何定理可读证明自动生成的原理和方法。
科研成果获1982年国家发明二等奖，1995年中国科学院自然科学一等奖，1997年国家自然科学二等奖。
热心科普和教育。曾被评为新中国以来贡献突出的科普作家。著有《教育数学探索》《平面几何新路》《平面几何新路—解题研究》《帮你学数学》《新概念几何》《数学家的眼光》《迭代方程与嵌入流》《计算机怎样解几何题—谈谈自动推理》等科普作品。所著《教育数学丛书》获1995年中国图书奖。主持开发的软件《Z+Z智能教育平台》获2000年香港国际发明博览会金奖。所著《数学家的眼光》等书一套3册于2003年获第六届国家图书奖、五个一工程奖和全国科普创作一等奖。《数学家的眼光》一书获2003年广州市科普创作一等奖、2004年广东省科普创作特等奖、2005年国家科技进步二等奖。主编的《好玩的数学》丛书获2009年国家科技进步二等奖。
