忽视不得的“根”:根骨要求的忽视抽武器
时间：2019-03-12 03:25:40 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
函数与方程中的许多问题都可以归结为一元二次方程根的分布问题,而不少同学对这一块内容的认识比较模糊,因此解题中容易出现各种错误. 错因一:忽视转化的等价性 例1已知方程2x2-2(m-1)x+m+3=0的两实根均大于1,求实数m的取值范围.
错解: 设方程的两根为x1,x2,且x1>1,x2>1,则由题意有Δ≥0,x1+x2>2,x1x2>1;即4(m-1)2-8(m+3)≥0,m-1>2,>1.解得m≥5.
剖析: 错解对x1>1,x2>1这一条件进行了非等价转化,Δ≥0,x1+x2>2,x1x2>1只是x1>1,x2>1的必要而非充分条件. 事实上,x1>1,x2>1应等价于Δ≥0,(x1-1)(x2-1)>0,(x1-1)+(x2-1)>0.
正解1: 由x1>1,x2>1可知Δ≥0,(x1-1)(x2-1)>0,(x1-1)+(x2-1)>0;即Δ≥0,x1x2-(x1+x2)+1>0,x1+x2-2>0.由韦达定理得4(m-1)2-8(m+3)≥0,-(m-1)+1>0,m-1>2.解得5≤m0,>1,Δ≥0;即2-2(m-1)+m+3>0,>1,4(m-1)2-8(m+3)≥0.解得5≤m0(若Δ=0,则f′(x)≥0,f(x)无极值点),且f′(-1)•f′(1)0)有两个实数根,且其中一根在区间(1,2)内,则a-b的取值范围为
(A) (-1,+∞) (B) (-∞,-1) (C) (-∞,1) (D) (-1,1)
错解: 可分成两种情况讨论:
① 方程在(1,2)上有两个相等的根,则Δ=0,-∈(1,2)…
② 方程有两个不等实根,其中一根在(1,2)上,则f(1)•f(2)0,f(1)0;即a>0,a+b-10.利用线性规划可知a-b>-1,答案为A.
评注: 充分利用所给一元二次方程对应的二次函数图象,抓住对称轴或某些特殊点函数值的特征,往往能使解题避繁就简.
错因四:忽视二次项系数的符号
例4已知f(x)=loga(x+1),若函数F(x)=af(x)+tx2-2t+1在(-1,2]上有两个零点,求实数t的取值范围.
错解: 由题意可知,F(x)=tx2+x-2t+2,显然t≠0. ∵ F(x)在(-1,2]上有两个零点, ∴ F(-1)>0,F(2)≥0,-10;即-t+1>0,2t+4≥0,-10.解得0的情况,考虑不够全面,且最后解得的结果也与t>0相矛盾.
正解: F(x)=tx2+x-2t+2,显然t≠0.
(1) 当t>0时,可知0;即-t+10.不等式组无解.
综上可得,实数t的取值范围为
