“三线合一”定理的灵活应用:三线合一定理

时间：2019-01-07 03:25:00　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　“三线合一”定理是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高互相重合．该定理其实包括如下三个方面的内容：　　1．等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线；
　　2．等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线；
　　3．等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线．
　　显见，以上三方面的内容，给我们提供了证明线段相等、角相等、直线垂直的新思想和新方法．在解答一些证明问题时，要注意灵活应用它们．
　　例1 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．
　　分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，即证明AD是∠BAC的平分线．
　　
　　证明：连接AD．
　　因为AB=AC，BD=CD，
　　所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线．
　　所以AD平分∠BAC．
　　因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
　　所以DE=DF．
　　说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质．
　　例2 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD上的一点，求证：AB-AC＞PB-PC．
　　分析：证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边．为了得到AB-AC的结果，可在AB上截取AE=AC，则有BE=AB-AC．为此，只要证明BE＞PB-PC即可．
　　证明：在AB上截取AE=AC，连接PE、CE，CE交AD于F．
　　因为AE=AC，AD平分∠BAC，
　　所以AF是等腰△ACE的顶角∠CAE的平分线．
　　所以AF⊥CE，CF＝EF．
　　即，AF是CE的垂直平分线．
　　因为P在AF上，
　　所以PE＝PC．
　　因为BE＞PB-PE，BE=AB-AE，
　　所以AB-AC＞PB-PC．
　　说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ACE顶角∠CAE的平分线AF，是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质．
　　
　　例3 如图，在△ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC．
　　分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与顶角平分线重合．要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行．
　　证明：过A作AF⊥BC于F．
　　因为AB=AC
　　所以AF平分∠BAC．
　　所以∠BAC=2∠BAF．
　　因为AD=AE，
　　所以∠D=∠AED．
　　所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．
　　所以∠BAF=∠D，DE∥AF．
　　所以DE⊥BC．
　　说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的高AF是顶角∠BAC的平分线的性质．
　　例4 如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD=1/2∠BAC．
　　分析：为了得到1/2∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．
　　证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．
　　因为AB=AC，AE平分∠BAC，
　　所以AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．
　　
　　所以AE⊥BC于点E．
　　所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，
　　因为BD⊥AC于点D，
　　所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．
　　所以∠CBD=∠1=1/2∠BAC．
　　说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质．

相关热词搜索：定理灵活 三线合一

“三线合一”定理的灵活应用:三线合一定理

最新文章

热门文章