外因是变化的条件 [走近条件变化的圆问题]
时间：2019-01-07 03:30:28 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
近年来的中考,出现了这样一类圆问题:在已知条件的情况下,先证明或确定一个有关的结论,然后将原问题的一个条件变化,要我们探索原结论是否仍然成立,或者探索一个与原结论类似的结论 解答它们,要注意分析条件变化前与条件变化后图形的特点,比较其差异,再确定判断的结论与哪些因素有关.
例1(山西太原市中考题)如图1,在锐角△ABC中,BA=BC,点O是边AB上的一个动点,不与点A、点B重合. 以O为圆心,OA为半径的圆交边AC于点M, 过点M作⊙O的切线MN交BC于点N
(1)求证:MN⊥BC;
(2)分别判断OAOB时,上述结论是否成立?请选择一种情况,说明理由
析解:(1)连接OM,由MN切⊙O于点M,得MN⊥OM 要证明MN⊥BC,只要证明BC∥OM
∵BA=BC,OA=OM,
∴∠C=∠A=∠OMA,BC∥OM
∵MN切⊙O于点M,
∴MN⊥OM,MN⊥BC
(2)当OAOB时,MN⊥BC的结论仍然成立.现以OAOB时,MN⊥BC的结论
例2(内蒙古呼和浩特市中考题)如图3,等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧上的一点(端点除外),延长BP至D,使BD=AP,连接CD.
(1)若AP过圆心O,如图3,请你判断△PDC是什么三角形?并说明理由.
(2)若AP不过圆心O,如图4,△PDC又是什么三角形?为什么?
析解:(1)可以说明PC=DC及∠CPD=60°,则△PDC为等边三角形.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°.
∵∠CAP=∠CBP=∠CBD,AP=BD,
∴△APC≌△BDC(SAS),PC=DC.
∵∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,
∴∠CPD=180°-(∠APB+∠APC)=60°.
∴△PDC是等边三角形.
(2)△PDC仍是等边三角形.由(1)的说理可以发现,△PDC是不是等边三角形,只与△ABC是等边三角形和BD=AP这两个条件有关,与AP是否过圆心无关. 这样,当AP不过圆心O时,△APC≌△BDC和∠CPD=60°照样成立. 从而△PDC是等边三角形的结论不变.
例3(辽宁省中考题)如图5,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C, AD⊥ EF,垂足为D
(1)求证:∠DAC=∠BAC;
(2)若把直线EF向上平行移动,如图6所示,EF交⊙O于G、C两点,若题中的其他条件不变,这时与∠DAC相等的角是哪一个?为什么?
析解:(1)如图5,连接OC,那么OA=OC,∠OCA=∠OAC=∠BAC 为此,只要再证明∠DAC=∠OAC.
∵直线EF和⊙O相切于点C,
∴OC⊥EF
∵AD⊥EF,垂足为D,
∴OC∥AD,∠DAC=∠OCA
∴∠DAC=∠OAC=∠BAC
(2)与∠DAC相等的角是∠BAG. 为说明这个结论,先连接BC,如图6所示
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,∠BAC+∠ABC=90°
∵AD⊥EF,垂足为D,
∴∠ADG=90°,∠DAG+∠AGD=90°
∵∠ABC=∠AGD,
∴∠BAC=∠DAG
∵∠DAC=∠DAG-∠CAG,∠BAG=∠BAC-∠CAG,
∴∠DAC=∠BAG
