质点的运动方程质点运动中的最值问题探究

时间：2018-12-24 03:21:18　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　质点运动型问题一直是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查学生的综合分析和解决问题的能力.这类问题中就有一类是探究最值问题，它们同样是以各种几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题，探求图形中的某一元素的运动变化规律．
　　一、利用几何特性确定运动过程中的最值问题．
　　例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是．
　　解析AD是∠BAC的平分线，AD所在直线是∠BAC的对称轴，则在边AC上必存在点N的对称点N′，则MN＝MN′，则BM＋MN＝BM＋MN′ ≥N′B．当N，M，B三点共线时，BM＋MN最小，就等于N′B．而N′B最小即N′B⊥AC时，BM＋MN的最小值为4．
　　例2如图2，已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是．
　　解析取AB的中点D，连结CD、OD，则CD=a，OD=，求OC的长的最大值，就是求OC≤CD＋OD＝a，OC的长的最大值a．
　　评注例1这种类型的题目较为常见，利用图形的对称性和两点之间线段最短求两线段之和的最小值，而例2不常见，图中Rt△ABO随着动点A，B的移动形状发生改变，正△ABC随着动点A，B的移动边长、形状没有改变，但位置发生改变，但Rt△ABO中斜边上的中线始终等于斜边的一半，正△ABC中AB边上的中线始终等于边长的倍，应用第三边小于两边和（定值），当且仅当O，D，C三点共线时等于号成立．例1和例2恰好都运用了当三点不共线时，两边之和大于第三边，当三点共线时，等于号成立．当等号成立时，左边两线段和的最小值就等于右边线段，右边线段的最大值就等于左边的两线段之和．
　　二、通过建立函数关系确定运动过程中的最值问题．
　　例3如图3，在等腰Rt△ABC中，斜边BC=4，OA⊥BC于O，点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合.
　　（1）判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.
　　（2） △AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求它的最大值.
　　解析第（1）问的方法很多，这里我们不妨建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF=2-x，则三角形AOE的面积=，三角形AOF的面积=，因此四边形AEOF的面积=＝２；即四边形AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化.
　　本题通过建立函数关系得出有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法，应用比较广泛.
　　第（2）问,通过建立函数关系求得, △AEF的面积=x（2-x）=-（x-）2+1，又x的变化范围为0＜x＜2，由二次函数知识得△AEF的面积的范围为:0＜△AEF的面积≤1 ，则它的最大值为1.
　　例4如图4，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.
　　1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
　　2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.
　　（1）求S关于t的函数关系式；
　　（2）求S的最大值.
　　分析此题为点动带动线动，从而得出动图形面积的问题，因此，1）搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.其实就是分析出图中哪几个临界点，对自变量进行分段，用关于t的函数来表示.
　　由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s.而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.两点同时运动时，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况：
　　（1） ①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.
　　② 当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.
　　而在求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.
　　另外质点运动带动图形运动而导致与其他图形的重叠部分形状发生改变，学生要能运用函数，数形结合、分类讨论等数学思想在解题中灵活运用，也是对学生动手操作、空间想象能力的考查．
　　从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化规律．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是质点运动型问题中最核心的数学本质.不要被“动”“变”迷惑，通过观察、分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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